RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS POLYNOMALES 
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348. Propriétés des racines. — Plaçons-nous dans l’hypo 
thèse où l’équation du troisième degré, mise sous la forme (n), a 
trois racines et désignons ces racines par les lettres affectées d’in 
dice Xi, Xi, Xi, ... 
On vérifie (*) que (quelle que soit la valeur de x) l’on a l’iden 
tité : 
(i3) ax 3 -t- bx 2 4-- ex -i- d = a (x — xQ (x — x 2 ) (x — x 3 ). 
D’ailleurs, si l’on développe le produit du second membre, les 
coefficients des mêmes puissances de x sont nécessairement égaux 
dans les deux membres (cf. 338) : on déduit de là l’énoncé suivant : 
Quelle que soit l’équation proposée (n) la somme des racines 
{Xi h- x 2 -t- Xi) est égale à — -, la somme de leurs produits deux 
à deux (XiXi 4- x 2 x A 4- X: t Xi) est égale à -, leur produit {xiXzXi) 
est égal à [cf. Cardan Ars Magna, chap. xvni]. 
349. — Nous n’étudierons pas en détail l’équation du quatrième 
degré 
ax i 4- bx 3 4- ex 2 4- dx 4- e = o. 
Nous nous bornerons à indiquer (aux notations près que nous 
modernisons) la première méthode de résolution de cette équation 
générale qui ait été proposée, celle de Luigi Ferrari, élève de 
Cardan ( 2 ). 
Divisons l’équation par a et faisons le changement d’inconnue 
x — t — (cf. n° 347) ; un calcul facile montre que l’équation 
transformée est une équation polynomale en t, du quatrième degré 
et ne contenant pas de terme en t 3 . Ainsi, moyennant un change 
ment d’inconnue, la résolution de toute équation du quatrième degré 
W (*) Cette vérification résulte des valeurs des racines que l’on a calcu 
lées. Nous reviendrons d’ailleurs au § 6 sur l’identité (13) [que Ion 
peut établir a priori] et sur ses conséquences. 
( 2 ) « Qui eam — dit Cardan — me roganie invenit » [.4rs magna, 
ch. xxxix, p. 72].