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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
étant donnée, il n’est pas possible de former (en combinant des 
opérations effectuées sur les coefficients a 0 , ... a 5 ) une expression 
algébrique qui représente une racine de cette équation ; il n’est pas 
possible, en d’autres termes, de trouver une expression algébrique 
des racines, qui soit composée de nombres arithmétiques, des 
lettres a 0 , ai,... a 5 , et des signes opératoires classiques -t-, —, x , etc. 
Nous comprendrons facilement la signification de cette propo 
sition d’Abel si nous nous reportons aux n os 67 et 122 de notre 
Premier Livre. Supposons, pour fixer les idées, que les coefficients 
a Q , ... a s d’une équation (17) soient des nombres rationnels; les 
valeurs des racines ( x ) seront, — comme il arrive pour toute 
équation, — déterminées par les valeurs des coefficients a 0 , ... a 5 ; 
mais, en général, ces racines sont — comme les nombres tî et e —• 
des nombres qui ne peuvent pas être définis comme résultats d’opé 
rations connues. 
La recherche de critères permettant de reconnaître si une 
équation polynomale donnée, de degré supérieur à 4 est résoluble 
par radicaux ( 2 ), — c’est-à-dire a des racines calculables par 
radicaux (voir p. 77, note 1) — est l’un des prolèmes les plus 
importants de l’algèbre. Pour en venir à bout il fallut recourir à 
une méthode en apparence fort détournée, dont l’invention est due 
principalement à un jeune mathématicien parisien du xix® siècle, 
Evariste Galois ( 3 ), mort à vingt ans en i83a. 
351. — Etant donnée une équation polynomale de degré quel 
conque, la méthode de Galois nous apprend, pourrait-on dire ( 4 ), 
quels sont les nombres qu’il faudrait adjoindre aux nombres « or 
dinaires » (nombres rationnels et nombres calaulables par radicaux) 
(*) Nous admettons que l’équation dont il s’agit a des racines. D’après 
le n° 358, elle en a toujours au moins une. 
(*) Précisant la question, on devra distinguer entre le cas où toutes les 
racines et le cas où une partie seulement des racines de l’équation sont 
calculables par radicaux. 
( 3 ) Le mémoire fondamental de Galois sur la théorie des équations ne 
fut publié qu’en iS46 : « Mémoire sur les conditions de résolubilité des 
équations par radicaux » ( Journal de Liouville). La méthode de Galois 
fait intervenir la théorie des groupes dont nous parlerons ultérieurement. 
( 4 ) Nous ne pouvons pas préciser ici cette indication très vague. On 
trouvera l’exposé de la théorie de Galois dans les traités d’algèbre 
supérieure.