PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE l’ÉQUATION DE DEGRÉ R 351
i
f
y
supposons que le polynôme P(îc) satisfasse à une identité de la
forme suivante :
(7) P(æ) = a n [x — xj) ai [x — x 2 )** ... (x — x p fc,
où a 1, a 2 ,..., a p sont des nombres entiers positifs dont la somme égale n
(ai + a-2-h ... H- a p = n). Il nous est loisible d’admettre que cette
identité n’est autre que l’identité (5) dans laquelle a t racines ont
la même valeur Xi, a 2 racines ont la même valeur x 2 , etc. C’est
pourquoi nous dirons en ce cas, que Céquation (i) a n racines,
mais que, parmi ces racines, il y en a ai égales à Xi, a2 égales à
x 2 , elc.\ les racines Xi, x-i, ..., seront dites a racines multiples » (*),
les nombres correspondants ai, a 2 * étant appelés « ordres de
multiplicité » des racines ; en particulier une racine multiple
d’ordre 2 sera dite double, une racine multiple d’ordre 3 sera dite
triple ; une racine non multiple sera dite simple.
Moyennant ces conventions (c’est-à-dire : à condition de regar
der une racine multiple comme consistant en plusieurs racines
confondues), les propositions énoncées aux n os 354-55 subsistent
dans le cas où les racines de l'équation ne sont pas toutes simples.
357. Racines imaginaires et théorème d’Euler. — Suppo
sons maintenant que l’équation (1) ait moins de n racines [chaque
racine multiple étant comptée pour autant de racines que son
ordre de multiplicité contient d’unités] : alors, pour sauvegarder le
théorème de Girard, nous sommes amenés à dire que l’équation a
des « racines imaginaires ». Mais c’est là une locution qui actuel
lement n’a pour nous qu’un sens négatif. Mieux vaut donc laisser
provisoirement de côté le théorème de Girard (nous y reviendrons au
chap. v) et le remplacer par le théorème suivant qui fut énoncé par
Euler ( 2 ) | nous omettons la démonstration de ce théorème, — dé-
(*) Il résulte de cette définition qu’une racine x, est multiple d’ordre aq,
p//p\
si P(œ] est divisible par [x—#1) Xl , le quotient -, étant un polynôme
(x
en x de degré n-— oq.
( 2 ) « Omnem expressionem algehricam a 4- 87 + ~;x- + ox 3 -(- sx*, etc,
— dit Euler — vel in factores reales [non imaginaires] simplices p + qx,
vel saltem in factores reales quadratos p + qx + rx- resolvi posse. » [Corres
pondance, éd. Fussj St-Pétersbourg, x843, I, p. 171, lettre à Goldbach].