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LES KOMBIIES 
Biaise Pascal résolut la même question en 1654, et il exposa sa 
méthode dans un traité latin intitulé Poteslalum numericarum 
Summa ( 1 ). 
17. — Nous allons, à titre d’exemple, effectuer le calcul de la 
somme des carrés des n premiers nombres par une méthode qui 
ne diffère pas au fond de celle de Pascal et qui se laisse facilement 
étendre au cas des puissances supérieures. 
Désignons par le symbole S la somme des n premiers nombres, 
par le symbole ( 2 ) S 2 la somme inconnue des carrés de ces 
nombres, par le symbole S 3 la somme inconnue de leurs cubes. 
Nous allons nous servir d’une formule que nous établirons plus 
loin, mais dont il nous est facile de vérifier dès maintenant 
l’exactitude en effectuant deux multiplications successives ( 3 ). Dé 
signant par p un nombre quelconque, nous avons l’égalité 
(i -t- p) 3 = i -+- 3 x p h- 3 x p- -F p 3 . 
Faisant successivement, dans celte égalité, p = o,p= i,...,p = n, 
nous obtenons le tableau : 
i = i 
(i + i) 3 = 1 H- (3 X i) -F (3 X I 2 ) -F r 3 
(i -4- 2)•’ = i -F (3 x 2) 4- (3 x 2 2 ) -f- 2 3 
(1 n) 3 = 1 -h (3 X n) -F (3 £ n 2 ) -h n 3 
Additionnons colonne par colonne. A gauche des signes =, nous 
avons n -F 1 nombres cubes consécutifs dont la somme n’est 
autre que : S 3 -F (1 -F n) 3 . A droite nous avons : 
il n fois l’unité, 
plus le produit 3 X (1+2 ... H- n), c’est-à-dire 3 X S ; 
plus le produit 3 X n 2 ), c’est-à-dire 3 X S 2 ; 
plus la somme i 3 -F 2 3 H- ... n 3 , c’est-à-dire Sa. 
(') Traité posthume publié en i665, Œm>., t. III, p. 34r et suiv. 
f 2 ) Ce symbole se lit S indice 9. 
( 8 ) On vérifie la formule en effectuant le produit : 
0 + p) x (j 4- p) x (1 + p).