PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE l'ÉQUATION DE DEGRÉ lï 353
358. Critères relatifs à l’existence des racines réelles. —
Etant donnée une équation polynomale de degré n
a n x n H- o n —! a?’ 1 1 -h ... H- a 0 = o,
dont les coefficients sont des nombres donnés quelconques, existe-
t-il des critères simples permettant de reconnaître rapidement si
cette équation a des racines réelles, combien elle en a et quels sont
lès signes de ces racines ? Les critères ont été proposés en grand
nombre; les plus importants sont ceux qui résultent des propriétés
des « dérivées » dont nous nous occuperons au chapitre xi du pré
sent livre; bornons-nous pour l’instant à énoncer, sans démonstra
tion, une règle classique que Ton appelle d’ordinaire règle ou
théorème de Descaries.
Laplace énonce cette règle comme il suit dans les leçons qu’il
donna à PEcoIe Normale en 1796 (,Journ. de l’Ec. Polytechn., 7 0
cahier, p. 43). « Deux termes consécutifs d’une équation qui ont
le même signe forment une permanence ; s’ils ont différents signes,
ils forment une variation. Par termes consécutifs, j’entends ceux
dans lesquels les exposants de l’inconnue ne diffèrent que d’une
unité.
« 11 ne peut y avoir dans une équation plus de racines réelles
positives que de variations; il ne peut y avoir plus de racines
réelles négatives que de permanences...
« De là suit que, si toutes les racines sont réelles, il y a autant
de racines positives que de de variations et autant de racines né
gatives que de permanences. C’est la fameuse règle de Descartes ».
Conjointement avec ce théorème, on peut établir nombre de pro
positions relatives à l’existence des racines réelles et à leurs signes,
par exemple celles-ci :
Une équation de degré impair a toujours au moins une racine
réelle [cf. p. 54o, note 1 ].
Une équation dont tous les coefficients ont le même signe n a pas
de racine positive.
Une équation dont tous les premiers termes ont le signe +, tous
les termes suivants ayant le signe —, a une racine positive et une
seule.
359. Racines d. un polynôme. — Observons, avant de quitter
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 2 3