SYSTÈMES d’ÉQUATIONS SIMULTANEES
35 7
'
363. — Dans la Géométrie de Descartes (Œuv. de Descaries,
t. X, p. 6-3), les systèmes d’équations et la méthode à suivre
pour les résoudre sont définis dans les termes suivants, qui ré
sument l’essentiel de ce que nous avons dit et allons dire sur eux :
« Mais lorsque le problème proposé est tel qu’une seule lettre
inconnue n’a point assez de communication avec celles qui sont
connues, en sorte qu’elles ne sauraient s’entraider pour faire trouver
l’équation, ou bien que par la supposition d’une seule lettre, on
s’embarrasse dans un trop gros calcul, on se doit servir de plusieurs
lettres inconnues, et chercher aussi autant d’équations qu’on a
supposé de lettres, et par le moyen d’icelles équations réduire
toutes ces lettres en une seule, qui porte la solution du problème.
Et pour venir à bout de ces réductions, il est besoin de considérer
si, par une équation ou par la comparaison de deux ou plusieurs,
en les ajoutant ou soustrayant l’une de l’autre, on ne pourra con
naître une lettre. Et si cela ne se peut( 1 ),il faut venir à l’extraction
de la racine pour en trouver une ; puis après, on doit ôter cette lettre
de l’une des autres équations, et en son lieu mettre la valeur
trouvée; et ainsi on sera quitte d’une lettre inconnue. Puis, com
parant cette équation avec une autre dont on aura aussi ôté cette
même lettre, si elle y était, on se défera d’une seconde; et ainsi
des autres, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus qu’une inconnue parmi
toutes les connues, dont on mettra les termes par ordre. Et on
connaîtra, par extraction de racine, quelle est la valeur, comme
devant; et ainsi le problème sera résolu. »
Les premières lignes de ce passage contiennent une remarque
utile à faire : c’est que c’est souvent de son plein gré, et pour la
commodité des calculs, que l’algébriste considère un système de
plusieurs équations à plusieurs inconnues au lieu de raisonner sur
une équation unique à une inconnue. Ainsi la résolution de
l’équation x 3 -4- — = 2 et celle du système
\Jx
X 3 -+- y = 2
XJ 2 = I
(') On voit que Descartes ne préconise l’élimination par substitution
que comme un pis-aller. Il est, en revanche, partisan de la méthode de
réduction, que nous définirons an n° 365.