3g8 CALCUL DES FONCTIONS 
raents h et k de plus en plus et arbitrairement (*) petits : alors, dans 
la fraction j , les deux termes deviendront plus petits que n’im 
porte quel nombre donné ; mais la fraction j pourra, quant à elle, 
se rapprocher d’un nombre déterminé (ni infiniment petit, ni infi 
niment grand); et ce nombre, alors, « limite de ^pour h = o », 
sera la mesure de la vitesse de la variation de y. Comment le rap 
port j est en effet susceptible d’avoir une limite, c’est ce dont nous 
nous rendrons facilement compte en remarquant que puisque y 
est fonction algébrique de x, l’accroissement k est lui-même 
fonction algébrique de A, et fonction égale à o pour h = o : 
ainsi k est égal à une expression algébrique telle que par exemple : 
k — 2 h H- 3A 2 ou k - y—^2, etc. Les valeurs de j correspon 
dant à ces exemples sont : 
2 h 
k 2/1 —H 3A 2 > k 1 —j— h' 1 2 
k h a l ’ h U = TTfTp ; 
on voit que, lorsque h se rapproche de o, ces valeurs se rapprochent 
d’une valeur déterminée, 2,bien que la fraction J^dont les deux termes 
deviennent arbitrairement petits, tende à prendre (si on ne la 
simplifie pas) la forme dépourvue de sens - , 
Lorsque la limite de ^ existe (*), eHe est appelée dérivée de la 
fonction y pour x = x 0 . La valeur de la dérivée peut naturellement 
varier, et varie en général, avec la valeur de x 0 : elle, est donc 
fonction de. x 0 . 
406. Exemples de dérivées. — Considérons la fonction 
y = x- au voisinage d’une valeur quelconque x 0 de x. Pour x = x 0 , 
nous avons y = y 0 = x*. Pour x = x 0 -H h, nous avons 
if — Jo + k = (ar 0 -|- hy. 
(') -^- u sens de la page 55, note t. 
( 3 ) Voir au n° 407 (Remarque) ce qu’il faut au juste entendre par là.