DÉRIVÉES
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En conséquence :
к = {x 0 -h Л) 2 — x; — 2x 0 h h 2 ; ~ — 2X 0 4- /г ;
lorsque Д tend vers o, le rapport y admet la limite 2x 0 : cette li
mite est la dérivée de la fonction pour x - - x 0 . D’ailleurs x 0 est
une valeur quelconque de x : nous pouvons donc énoncer le résul
tat suivant : pour toute voleur de x, lu fonction y = æ 2 admet une
dérivée égale à ix.
Considérons la fonction y — y/x au voisinage de x 0 . Nous avons
Jo — s/ x o’> Jo H- к = \/x 0 -)- Л, h = \/x 0 -h h — уЛг 0
d’où Гоп déduit (') (d’après le n° 303) к ~ - - — —.
V x o H - h -I—
Lorsque h tend vers o, le rapport y admet une limite égale à
—7=. Nous énoncerons donc le résultat suivant : pour toute va-
2 \X 0
leur de x, la fonction y — y x admet {ou a) une dérivée égale à
i
2 \Jx
407. Définition générale de la dérivée. Notations. — Nous
avons vu comment on définit la dérivée pour une valeur x 0
de æ; cette valeur étant quelconque, il est permis de la désigner
par la lettre æ, sans indice, ainsi que nous l’avons fait dans les deux
énoncés donnés ci-dessus. On formule alors, d’ordinaire, la défi
nition de la dérivée dans les termes et avec les notations suivantes :
Soit x une valeur quelconque de la variable indépendante (au
voisinage de laquelle la fonction est supposée univoque et continue)
et y la valeur correspondante de la fonction. A partir de la valeur
ccje donne à la variable indépendante un accroissement (positif
ou négatif) égal à \x : il en résulte pour y un accroissement Aj.
AV
Si le rapport —■ admet une limite (et une limite unique) lorsque-
¡Л 'k
(*) On le voit en faisant a = x 0 + h et ¡3 = dans l’identité-
— — Ot ■ 3 e ,
\Ja. — y/’8 = ~7= 7= q u * se déduit immédiatement des identités (XV),
V* + vo*
du n° 3o3.