DÉRIVÉES 
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410. Dérivée d’une somme. — La dérivée d’une somme est 
égale à la somme des dérivées des termes de cette somme. Suppo 
sons, en effet, que la fonction y de x soit la somme de plusieurs 
fonctions, par exemple (*) de deux fonctions u et v. Appelons 
Ay, A u, Av les accroissements subis par y, u, v, lorsque x s’accroît 
de Ax : nous avons évidemment : 
A y — Ah -h Au. 
L égalité subsiste lorsque nous divisons les trois accroissements 
par Ax : cela quelque petit que soit Ax. 
Si donc nous faisons tendre Ax vers o, nous avons : 
limite de 
Aj _ 
Ax 
limite de ^ 
Ax 
limite de 
Au 
Ax ’ 
donc 
u' h- u'. 
4ll. Dérivée d’un produit ( 2 ).— i° Le produit d’une fonction y 
par une constante a a pour dérivée le produit ay'. En effet, lorsque 
x s’accroît de Aie et y de Ay, l’accroissement de ay est aAy et le 
, A y 
rapport de cet accroissement a Ax est a ~^.- 
2° La dérivée du produit uv de deux fonctions u et v est égale à 
UV -4- v'u. 
En effet, posons y = uv et appelons A a, Av, A y, les accroisse 
ments de Au, Av, A y correspondant à l’accroissement Ax de x. 
Nous aurons 
Ay = (h -h Ah) (u -t- Au) — uv = vAu -h uAu -+- Au.Au; 
donc 
A y Ah 
Ax 1 Ax 
Av , Au. 
Ax Àx^ V ’ 
égalité qui subsiste lorsque Ax tend vers o, et qui donne (Au de 
venant nul) : 
(0 
d l = 
dx 
du 
dx 
dv . . 
— VU -f- uv . 
(') La même démonstration s’applique à la somme d’un nombre quel 
conque de fonctions, 
( 2 ) Leibniz énonce ces règles sous une forme un peu différente en 
considérant, au lieu des dérivées, les différentielles, dont nous parlerons 
dans notre Troisième Livre, ch. u. 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 
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