PROPRIÉTÉS DE LA. SUITE CROISSANTE DES NOMBRES 
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21. Progressions géométriques. — On appelle ainsi une 
suite de nombres (dits termes de la progression) dont chacun est 
moyen géométrique entre ses deux voisins. 
Représentons les termes de la suite par les symboles (cf. 16) : 
^1 » ^2j «3. •••» 
et supposons que chacun d’eux se déduise du précédent en le 
multipliant par un nombre (’) b (toujours le même et différent 
de i). 
Nous aurons, pour les termes successifs de la progression, les 
valeurs suivantes : 
«! ; a 2 = a y X b ; a 3 = a 2 X b — a, X ê 2 ; 
a 4 = o 3 X b — a-i X b 3 ; ... ; a n — a L X b n ~ l . 
et, par conséquent : 
a\ — a v X a 3 ; a\ — a> X ; etc. 
Le nombre 6 est appelé « raison » de la progression. 
Proposons-nous de calculer la somme des n premiers termes 
d’une progression géométrique dont le premier terme est a 4 et la 
raison b. 
La somme cherchée a pour valeur : 
o.\ X (i ~H b —1— 6" -}- ... -(— b 11 2 ). 
Pour simplifier cette expression, effectuons la multiplication de la 
somme (i b ... -t- 6 n_1 ) par le nombre b — i. Il est 
facile de vérifier que nous obtenons, comme produit, le nombre 
b n — i. En d’autres termes, nous avons Légalité 
, , . h n — i 
i b -4- ... 4- b n ~ l = T , 
b — i 
et il en résulte que la somme cherchée a pour valeur le produit ( 2 ) 
b n — i 
P) On déduit de là que 
«1 «2 a :L ClU ’ 
( 3 ) « Soit, — dit Chuquet dans son Triparti/ (1484)» — dernier 
nombre multiplié par le dénominateur de la proportion [c.-à.-d. par la 
raison de la progression], de laquelle multiplication soit ôté le premier, 
soit i ou autre nombre quel qu’il soit; et le résidu soit parly [divisé] par i 
moins que n’est le dénominateur d’icelle [la raison] », 
fli X b n 
a i