4o6 
CALCUL DES FONCTIONS 
Ainsi le signe de la dérivée fait connaître le sens de la variation de 
la fonction. 
Supposons maintenant que, pour x = Xi, la fonction passe par 
un maximum (n° 400) : elle cesse de croître pour décroître : donc 
la dérivée y', qui était positive (au voisinage de Xy) pour x <; x { , 
devient négative pour x > x it et comme y varie d’une manière 
■continue, cette fonction est nulle pour x — Xy. Réciproquement, 
si la dérivée y' est nulle pour x — x { , et si elle passe du signe -h 
au signe — lorsque x, en croissant, traverse la valeur Xi, nous 
sommes assurés que la fonction y présente un maximum. 
Supposons au contraire que, pour x = x l : la fonction passe par 
un minimum ; elle cesse de décroître pour croître ; donc la dérivée 
s’annule et passe (lorsque x passe de x <C x i à x > £C,) du signe — 
au signe -K Réciproquement, si la dérivée se comporte ainsi, la 
valeur x — Xy donne un minimum de la fonction ( 1 ). 
Cela étant, il nous sera facile de déterminer le sens de la varia 
tion de la fonction y{x) pour une valeur quelconque x 0 de x. Si la 
dérivée j'(xo) est positive, la fonction, avons nous dit, est crois 
sante; si y'(xo) -< o, la fonction est décroissante. Dans le cas où 
y (cc 0 ) = o, considérons la dérivée seconde, y", pour la valeur x 0 
de x. Si y"[xo) i> o, la fonction y{x) est croissante pour x = x 0 ; 
donc lorsque x passe de x < x 0 à x > x 0 , la dérivée y' (nulle pour 
x = x 0 ) passe du signe — au signe -h : donc y présente un mi 
nimum. Si, au contraire, y'{xo) = o, y"{x 0 ) < o, la fonction 
présente Tin maximum. 
Remarque. — La règle ainsi formulée est en défaut si l’on 
a en même temps y'{x 0 ) = o, y"(cc 0 ) = o. En ce cas la fonction 
y', nulle pour x = x 0 , passe, pour cette valeur, par un maximum 
ou par un minimum, suivant que la dérivée seconde, y 1 ", est néga* 
tive ou positive (en x — x 0 ). Si y' passe par un maximum, cette 
fonction est positive de part et d’autre de x 0 ; donc la fonction y ne 
-cesse pas de croître lorsque x traverse la valeur x 0 . Si y' passe par 
un minimum, la fonction y ne cesse pas de décroître. Dans le cas, 
(') Sans nommer expressément la dérivée — qui n’avait point encore, 
de son temps, été définie et étudiée— Fermât indique très exactement, 
dans un opuscule communiqué à Descartes en 1638, la marche du calcul 
qui conduit à la détermination des maxima et des minima [voir infra, 
p. 53i, note 2].