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LES XOVURES 
4, — Problèmes divers relatifs aux nombres 
22. Diviseurs et multiples. — L’étude des nombres cardi 
naux nous suggère une foule de questions d ordres divers qui sont 
généralement aussi ardues à résoudre qu elles sont simples a 
énoncer. L’effort que ces questions exige de nous n a point peu 
contribué, semble-t-il, à leur conférer ce caractère de beauté mys 
térieuse qui a de tous temps captivé les mathématiciens. 
C’est la théorie de la division qui a donné Heu au plus grand 
nombre d’investigations, et c’est d’elle que nous allons tout 
d’abord dire quelques mots. 
Nous avons vu (8) qu’un nombre b est dit diviseur d’un nombre 
a lorsque a est divisible par b; a est dit, en ce cas, multiple de b. 
Lorsqu’un même nombre en divise séparément deux autres 
a et b, il divise évidemment leur somme et leur différence. Le 
quotient est égal à la somme ou à la différence des quotients de a 
et de b. D’autre part, pour qu’un produit de plusieurs facteurs soit 
divisible par un nombre c, il suffit que l’un des facteurs du pro 
duit soit divisible par c. 
L’application de ces règles (qui résultent de la définition même 
des opérations fondamentales) permettra de résoudre toute une 
série de problèmes relatifs aux diviseurs et aux multiples des 
nombres. 
Etant donné un nombre quelconque, quels sont les diviseurs de 
ce nombre ? Combien y en a-t-il ? 
Etant donné plusieurs nombres, quels sont les divisiseurs com 
muns à ces nombres ? Quel est le plus grand de ces diviseurs com 
muns ? Quels sont les multiples communs aux plusieurs nombres ? 
Quel est le plus petit de ces multiples ? 
Ces diverses questions sont traitées, avec autant d’élégance que 
de rigueur, dans les Eléments d’Euclide [vide infra 167). 
Pour y répondre rapidement, il est commode de mettre les 
nombres proposes sous la forme de produits a\ant pour facteurs 
certains nombres que 1 on appelle « nombres premiers » ou « fac 
teurs premiers ». Les nombres premiers jouent dans l’Aritbraé-