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CALCUL DES FOACTIOVS
427. Dérivée ( J ) de a x . — Soit a un nombre positif, que nous
prendrons, pour fixer les idées, supérieur à i. Afin de calculer la
dérivée de la fonction y = a x , donnons à æ, à partir d’une valeur
quelconque de cette variable, un accroissement h. L’accroissement
к de y est
, ,, , , , 1( . h a h — i
k — a x+h — a x — a x (a h — i ), d ou ^ = a x . ^
Donc pour que la Jonction a v ait une dérivée, ii faut et il suffit
oJ 1 I
que le rapport —p— tende vers une limite déterminée lorsque la
valeur de h tend vers zéro (par valeurs positives ou négatives, voir
n° 407). Appelant ( 2 ) l a cette limite (qui est constante par rapport
, . oü l —— l r
à x, puisque —^— ne dépend pas de x), nous aurons pour expres
sion dé la dérivée de a r :
У — L - a x .
Nous admettrons ici sans démonstration Y existence de la limite
l a (ce qui revient si l’on veut, à admettre a priori ( 3 ) que la fonc
tion a x a une dérivée). La valeur de l a , d’ailleurs, est nécessaire
ment positive. En effet, supposons, par exemple, que h tende
vers о en restant positif ; pour h > o, on a a h — i О о ; donc
a h — i
le rapport —д— ne cesse ( 4 ) pas d’être positif.
f) Jean Bernouilli expose la règle de dérivation des exponentielles a T
dans le mémoire cité supra, p. З76, note 2. (Acta érudit., 1697, Œuv., I,
p. 18З sqq.)
( s ) L’indice a rappelle que nous raisonnons sur une puissance du
nombre a.
( 3 ) A priori, l’existence de cette limite n’est nullement évidente : nous
verrons en effet ultérieurement qu’il existe des fonctions continues qui
n’ont pas de dérivée.
( 4 ) On démontre facilement que si h tend vers о en restant négatif, la
limite de a ~ h 1 est la même (Z.) que pour h positif. Posons, en effet,
h — —h! (en supposant h > o) ; nous avons
i
fl' 1 — 1 1 a 1 ' 1 1 a k ' -— r
h h a h ' K ’
lorsque h (positif) tend vers o, fr, tend vers i et -— r ,—- tend vers L •
h fl h ’
donc —^—- tend aussi vers U,