FONCTIONS TRANSCENDANTES CLASSIQUES 
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¡H 
428. Dérivées de a mx et de a' x . — La dérivée de y — a mx r . 
dérivée d'une fonction composée, est 
/ d(a mx ) . 
y = m . -TT ( = m . l„ . n mx . 
cl [WX) 
Pour avoir la dérivée de y = a' x , posons a' = a lo 8" a ' en dési 
gnant par log^a' le logarithme de base a du nombre a' : nous 
aurons 
,loga a . X 
et 
y 
la • loga a' . a' x . 
Remarque. — Au lieu de nous servir du nombre a pour cal 
culer la dérivée de a' T , nous aurions pu raisonner directement sur 
a' x comme nous l’avons fait plus haut sur a x . INous aurions ainsi 
obtenu comme dérivée de a' x , l’expression l a , . a x , où L eût dé- 
ofh j 
signé la limite du rapport —^— pour h tendant vers zéro. Les 
deux expressions l a . log a a'. a' x et l„, . a' x ont donc la même valeur, 
et l’on a, par conséquent : l a . logaii' = L , d’où l’on déduit ; 
a log a a' . I, = a l„, * 
jL, 
En d’autres termes, les valeurs de /’expression a la est indépen 
dante du choix du nombre a d’oà l’on est parti (cette valeur ne 
change pas si on remplace a par a' ou par tout autre nombre). 
I 
429. La fonction e x . — Le nombre a 1 “ qui a, d’après ce qui pré 
cède, une valeur numérique déterminée indépendante du nombre a 
est appelé e j^d’où log n c == j- j ; on trouvera (en effectuant le cal 
cul pour une valeur arbitraire de a) 2,7182... Ce nombre( 1 )' 
est exactement celui que nous avons déjà introduit au n° 122 : 
l’équivalence des deux définitions que nous nous trouvons ainsi 
donner du nombre e sera démontrée plus loin. 
Proposons-nous de calculer la dérivée de e T . Nous pouvons 
ecnre : 
log«e . x 
a 0 
d’ou y' = l a . iog a e.e x 
(’) Le symbole e a été introduit par Euler (Lettre à Goldbach 173 r 
Correspondance, éd. Fuss, 1.1, p. 58). 
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