FONCTIONS TRANSCENDANTES CLASSIQUES 4iy 
une fonction composée : y = e u , a = /aLx, dont la dérivée est 
m y 
e 11 . u' x ou e M . - ou mj, c est-à-dire rnx m —'. 
Ainsi l’expression de la dérivée de x m est celle-là meme que 
nous avions déjà trouvée au n° 418 en nous plaçant dans l’hypo 
thèse où m était un nombre rationnel. 
434. Dérivée de la fonction sin x. — Pour obtenir l’ex 
pression de cette dérivée, nous établirons d’abord un lemme. 
r r sin a , . 
Lemme. — Le rapport —— tend vers la valeur limite i, 
lorsque la valeur de a se rapproche indéfiniment de la valeur o. 
C’est là un fait que nous avons admis implicitement dès l’ori 
gine de nos spéculations sur la longueur du cercle ; car, étant 
donné que 2 sin a est la longueur de la corde de l’arc égal à 2a 
(vide supra p. 1G8, note 1), notre lemmrne n'affirme autre chose 
sinon que l’arc de cercle infiniment petit est assimilable à sa corde 
(qui est avec lui dans un rapport égal à 1 ). — Le lemme pourra 
d’ailleurs être démontré de la façon suivante. 
Considérons le cercle trigonomélrique de rayon 1 (n° 150) et 
l’abscisse curviligne positive (voisine de o) AM = a (voir fig. 76, 
p. 168). Puis imaginons (le lecteur fera aisément la figure) que nous 
menions en M la tangente au cercle (tangente perpendiculaire au 
rayon OM) jusqu’à sa rencontre en N avec OA prolongé. Dans le 
triangle rectangle MON, nous avons (n° 215) MN — OM . tg MOA 
ou (puisque le rayon OM = 1), MN = tg a. D'ailleurs (fig. 75) 
OP = cos a, PM = sin a. Considérons alors les trois surfaces 
suivantes : triangle OMP, secteur circulaire OMA, triangle MON. 
La seconde contient la première et est contenue dans la troisième ; 
donc 
(1) aire OMP <é aire OMA < aire MON. 
Or, puisque les deux triangles sont rectangles : 
aire OMP = - . OP . PM = ~ cos a . sin a, 
2 2 
aire MON = - OM . MN = - tang. a. 
2 2 
D'autre part faire du secteur circulaire OMA est égale (n° 84) a 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 27