CALCUL DES FONCTIONS 
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la demi-longueur de l’axe AM, soit multipliée par l’unité (lon 
gueur du rayon). L’égalité (i) s’écrit donc 
1 . a ^ i x r sin a 
- cos a . sm a < - <C - tg a ou ——, 
2 22° 2 cos a 
2 a . 
multipliant chaque membre par „—, il vient : cos a<C;q 
sm a cos a 
Lorsque a se rapproche indéfiniment de zéro, cos a tend vers la 
valeur-limite i. Donc le rapport , compris entre deux nom 
bres dont la valeur tend vers i, tend aussi vers i ; il en est de même 
, sin ai. i 
de son inverse —— ( puisque - — i 
435. — Gela posé, donnons k x, k partir d’une valeur quel 
conque de cette variable, un accroissement h. L’accroissement k 
de sin x est sin (x -h h) — sin x, ou (d’après le n° 163) 
sin x cos h -+- cos x sin h — sin x ou sin x (cos h— i) 4- cos x sin h; 
donc, lorsque h tend vers o, 
(2) limite y 
sin x . limite 
cos h 
Je dis que la limite du rapport 
cos h 
sin h 
X ' ~h~' 
est zéro. En effet 
h 
2 
nous avons d'après le (n° 382) l’identité cosh= 1 — 2 sin 2 -. Donc 
cos h — 
. h 
sm - 
2 
. h 
2 sm - 
2 
. h 
, sm - 
. h 2 
sm - • —r— . 
2 h 
Lorsque h tend vers o, la dernière fraction tend vers la limite 11 
d’après le lemme du n° 434 ^où l’on fait a = ; donc son pro 
duit par le facteur sin ^ , qui tend vers o, tend aussi vers o. — 
Le rapportd’autre part, qui figure au second terme du 
second membre de (2), tend vers 1 d’après le lemme, donc : 
lim j- = cos x. En conséquence ; 
La dérivée de la fonction y — sin x est y' — cos x.