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CALCUL DES FONCTIONS 
culier, que les variables x, y, z soient toutes trois fonctions d’une 
même variable #; alors u peut être regardée comme fonction (com 
posée) de la variable unique t. 
Une fonction u = /(x, y, z) peut avoir plusieurs branches ; 
c’est le cas, par exemple, de la fonction y/1 -+- xyz. Une fonction 
qui n’a qu’une seule branche dans un domaine donné y est dite 
univoque. 
441. Continuité. — La fonction u de x, y, z est continue au 
voisinage des valeurs x 0 , y 0 , z 0 de x, y et z lorsqu’elle satisfait aux 
conditions suivantes : i° lorsque x, y, z varient très peu à partir 
de leurs valeurs respectives x 0 , y 0 , z 0 , u (partant d’une valeur dé 
terminée u 0 ) varie également très peu; plus précisément, si une 
fonction u est continue pour les valeurs ou « pour le système des 
valeurs » x 0 , y ü , z 0 , c’est que l’on peut définir un domaine — 
contenant le système de valeurs x 0 , y 0 , et z 0 — tel que pour 
x, y, z variant dans ce domaine, u — u 0 reste inférieure, en va 
leur absolue, à un nombre donné e aussi petit quon voudra (*) ; 
2° soient u 0 , «t les valeurs prises par u pour x = x 0 , y — y 0 , 
z == ? 0 , d’une part, et pour x = x if y — y iy z = z t , d’autre part : 
lorsque ( 2 ), faisant varier x, y, z d’une manière continue (n°397) 
on passe du système de valeurs 5C 0 , y 0 , z 0 au système de valeurs 
x lt y y , Zy, la fonction u prend au moins une fois chacune des 
valeurs comprises entre « 0 et Ui. 
Si la fonction u, — égale à u 0 pour x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 , 
— est continue pour ces valeurs des variables, on dit qu'elle tend 
vers la limite u 0 lorsque x, y, z tendent respectivement vers les 
valeurs x 0 , y 0 , z 0 (cf. 396). 
(*) Quelque petit que soit e, en d’autres termes, on peut toujours 
trouver un nombre a assez petit pour que les trois inégalités, [ x — x 0 ] < a, 
| y— y 0 I < 1 3 — z o I ^ a (supposées satisfaites simultanément) en 
traînent comme conséquence j u — u 0 \ < e (cf. n° 3p6). 
(*) On peut démontrer que cette seconde propriété des fonctions con 
tinues est une conséquence de celle qu’énonce la note précédente, qui 
suffit, par conséquent, à définir les fonctions continues (voir Trois. Liv., 
ch. i). — Il y a, remarquons-le, une infinité de manières de passer des 
valeurs x ü , y 0 , z 0 aux valeurs xy, y u z t : on peut, par exemple, faire d’abord 
varier x de x Q à x, en laissant les quantités y et z égales à y 0 , z 0 , puis faire 
varier ensuite ces deux quantités seules ; ou bien on peut commencer 
par faire varier y seul, etc. Notre énoncé s’applique à tous ces cas.