FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES 4s3 
Une fonction qui est continue pour tous les systèmes de valeurs 
intérieures à un certain domaine (a, a!), (6, 6'), (c, c') [vide n°440] 
est dite continue dans le domaine. 
Les propriétés générales des fonctions continues se laissent 
étendre aux fonctions de plusieurs variables. On établira en par 
ticulier que les fonctions polynomales sont continues pour toutes 
valeurs (finies) des variables. Les fonctions rationnelles (non poly 
nomales) seront, au contraire, discontinues et infiniment grandes 
pour certains systèmes de valeurs de variables. Ainsi la fonction 
u = x H 1 — est infinie lorsque y et z prennent des valeurs 
y Z 
égales quelconques. D’une manière générale, on peut démontrer 
(cf. 399) que dans tout domaine où elle existe, est univoque, et 
conserve une valeur finie, une fonction algébrique est nécessaire 
ment continue ( 4 ). 
442. Dérivées partielles du premier ordre. — Considérons 
une fonction univoque et continue, u — f[x, y, z), au voisinage 
d’un système de valeurs de x, y, z. Supposons que, y et 2 ne 
changeant pas, x subisse un accroissement (positif ou négatif) Ax. 
La variable u subit un accroissement correspondant que je dési 
gnerai par (Au)*. Faisons tendre Ax vers o (en ne touchant tou 
jours pas à y et 2) et considérons le rapport . Si ce rapport se 
rapproche de plus en plus d’une valeur-limite, cette limite est 
(•) On démontre, plus particulièremert, le théorème suivant, dont nous 
nous contentons de donner l'énoncé (il s’applique aux fonctions trans 
cendantes comme aux fonctions algébriques). 
Si la fonction u — f [x, y, z) est continue dans un domaine donné (a, a), 
(b, b'), (c, c'), et varie, dans ce domaine entre d'et d, les diverses fonctions 
implicites [fonction x de y, z, u, fonction y de x, z, u, etc.], définies par la 
relation u — f (x, y, z) = o, sont continues pour tous les systèmes de valeurs 
correspondant à ce domaine pour lesquels elles sont univoques (nous ne 
nous occupons que de ces systèmes de valeurs-là, car nous n’avons défini 
la continuité que des seules fonctions univoques). 
C’est en partant de là que l'on établit par une démonstration rigou 
reuse la continuité d*une fonction implicite définie par une relation 
F [x, y) = o dont le premier membre est fonction continue de x et y). 
Plus particulièrement encore nous pouvons déduire de la proposi 
tion qui précède que la fonction inverse d’une fonction continue est 
continue.