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CALCUL DES FONCTIONS 
appelée ; dérivée partielle de u par rapport à x ; c’est la dérivée de 
la fonction de x que définit l’égalité u = f lorsqu’on y laisse inva 
riables les quantités y et z. On désigne la dérivée partielle relative 
à x par le symbole u x , ou ou (avec la notation dite différentielle) 
par le symbole (*) ~ ou *£■ 
On définira de même la dérivée partielle par rapport à y, 
J^que l’on écrira u y , /' y , ou et la dérivée partielle par rap 
port à z. Ces définitions s’étendent d’ailleurs au cas où la fonction 
est fonction de variables indépendantes en nombre quelconque. Le 
calcul des dérivées partielles se ramène immédiatement au calcul 
des dérivées ordinaires, puisque, pour calculer f ' x , il suffit dans 
l’expression f, de traiter y et z comme des constantes. 
Les trois dérivées partielles sont en général des fonctions des 
variables x, y, z (cf. n° 407). 
Exemple. — Pour un système quelconque de valeurs de x, y, z, 
la dérivée partielle de la fonction u = —■ x - par rapport à x est 
\/y ■+■ z 2 
iL 
i 
V X J H- 2 2 
; la dérivée partielle de la même fonction 
par 
rapport à y est 
x (y 
— 3 
2 ) 2 ; la dérivée partielle par rapport 
a z est 
— ô æ (y + z *) 2 
O 
ou —*z(j' + : 2 ) 3 . 
443. Dérivée d’une fonction composée. — Raisonnons, cette 
lois, pour simplifier l’écriture, sur une fonction de deux variables, 
U —J{ x i y)t considérée dans un domaine où la fonction u et ses 
dérivées partielles sont des fonctions continues, et supposons que 
x et y soient toutes deux fonctions d’une même variable t : 
x = x{t), y = y(t) : 
alors u est relativement à la variable t, une fonction composée. 
Partons d un système de valeurs correspondantes de /, x, y et u t 
i 1 ) Dans ce symbole, nous arrondissons le e afin de distinguer la déri 
vée partielle d’une dérivée ordinaire.