FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES 
et donnons à t un accroissement Ai : il en résulte pour x, y, u 
des accroissements \x, A y, An. 
D’ailleurs, on peut évidemment poser : 
(2) A«=[/(z4-Aæ,y4-Ay)-/(*4-A^y)]-h[/(a;4-A^y)-/(æ.y)]. 
Appliquons le théorème des accroissements finis (n° 420) à cha 
cune des différences écrites entre crochets. La première différence 
est égale au produit de A y par la valeur que prend la dérivée 
f\{x -4- Ax, y 0 ) pour une certaine valeur y 0 comprise entre y et 
y -H Ay : nous poserons y 0 — OAy, où Q désignera un nombre 
positif et inférieur à 1, La seconde différence est, pareillement 
égale au produit Ax . f x {x 4- ÔiAx, y) où 5i est un certain 
nombre compris entre o et 1. Divisant alors A u par A/, nous 
aurons 
A u A y , . « * x Ax „ . 
O + A*, y -4- 6Ay) -h ~f r (x 4- O.Aæ, y). 
Faisons maintenant tendre A l verso ; les accroissements \x, Ay, 
A u tendent alors tous vers o ; la valeur de la dérivée f*{x H- 6,A£c,y) 
tend vers la valeur de la dérivée f ' x (x, y) ; la valeur de la dérivée 
f y (x 4- Aa;, y -4- 6 A y) tend vers la valeur de la dérivée f v (x, y), 
et l’on a, par conséquent, à la limite : dérivée de u par rapport à /, 
ou ; lit = /*{%, y) . x, -4- fy (x, y) . y t f égalité que l’on peut 
écrire ainsi 
du df dx df dy 
' dt ï)x dt dy dl 
444. Dérivée d’une fonction implicite de a?. — Considérons 
la fonction implicite y de x définie par la relation F (x, y) = o. 
Nous plaçant dans un domaine où F (x, y) et ses dérivées par 
tielles sont continues, appelons Ay l’accroissement de y qui cor 
respond a l’accroissement Ax de x. Nous aurons, en définissant 
0 et 0 ] comme au numéro précédent, Vaccroissement de F 
Ay . F y (x -4- Ax, y -4- BAy) 4- Ax . Fè(æ 4- B,Ax, y). 
Mais l’accroissement de F est nul, puisque la fonction F de x