fonctions de plusieurs VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES 427
désignerons respectivement : i° les dérivées partielles de f x par les
symboles (*) :
*L t *L.
bX 2 ÔXÔJ’ dXbZ ’
OU
2° les dérivées partielles de f y par les symboles :
r ... d-f ô 2 /” a 2 /"
/»-.*/»«»/»- ou byàx* ty*'-âyL'
3° les dérivées partielles de f, par les symboles f zx , ou ...
De la même manière, nous définirons les dérivées partielles
d’ordre 3, d’ordre 4> de la fonction et nous les représenterons
parles symboles fft, .../iV. ... ou ~I, ... ...
dX*
446. —Je dis que, dans le calcul d’une dérivée partielle d’ordre
supérieur, on a le droit d’intervertir l’ordre des dérivations, c’est-à-
dire que l’on a, par exemple :
- »y T etc.
bXày i>ydX bXdZdXby dX 2 ôyôZ ’
Démontrons tout d’abord ce théorème dans le cas où la fonction
u — f ne dépend que de deux variables x et y : je dis que l’on a
en ce cas : f xy = J’ yx .
En effet, en considérant f{x, y) comme fonction de x, nous
avons, d’après le théorème des accroissements finis (n° 420) :
(5)
Aæ
= f x '{x H- 6, Ax,y)
où o < Oi <C 1 (ci., pour les notations, le n° 443). Considérons la
fraction du premier membre comme une fonction de y et appli-
quons-lui le théorème des accroissements finis par rapport à cette
quantité, à laquelle nous donnons un accroissement Ay : nous ob
tenons :
f(x + Ax,y H- Ay) —f[x,y -f- Av) — {fx + A,r,j) H- f(x,y)
{! A,:r.A y
= f y Jx -+- 0,Aa;,j -h 0Aj)
f 1 ) La lettre / peut être remplacée partout par la lettre u.