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LES NOMBRES 
Dans cette expression, les lettres a, b, ..., / désignent les facteurs 
premiers distincts (ces facteurs pourraient se réduire a un seul), les 
lettres a, â, X sont les exposants de ces facteurs (s'ils sont 
égaux à i, on ne les écrit pas,. 
L’opération que nous effectuons lorsque nous mettons n sous la 
forme indiquée est appelée « décomposition du noinhi e n en fac 
teurs premiers ». Il n’y a point de procédé infaillible peimettant 
de trouver (^) du premier coup les facteurs premiers a, b, ..., / 
qui composent un nombre. On ne peut effectuer la décomposition 
qu’en tâtonnant, c’est-à-dire en recherchant successivement si le 
nombre est, ou non, divisible par les nombres premiers de plus en 
plus grands 2, 3, 5, 7, etc. 
24. — Revenons maintenant à la théorie de la division. Pour 
qu’un nombre n soit divisible par un nombre ni, il faut et il suffit 
que chacun des facteurs premiers de m se trouve parmi les facteurs 
premiers de n avec un exposant au moins égal. Cette remarque 
nous permettra de former facilement tous les diviseurs d’un nom 
bre /1 dès que nous aurons décomposé ce nombre en facteurs 
premiers. 
Soient, d’autre part, deux nombres n et m décomposés en fac 
teurs premiers. Nous calculerons sans peine leur plus grand com 
mun diviseur et leur plus petit commun multiple. 
Le plus grand commun diviseur ( 2 ) est le produit obtenu en pre 
nant pour facteurs les facteurs premiers communs aux deux nom 
bres et affectant chacun d’eux du plus faible des deux exposants 
qu’il a dans les décompositions des deux nombres. 
(') On observera qu’au sujet de la décomposition en facteurs premiers 
deux problèmes se posent : i° démontrer qu’il existe toujours un produit 
de facteurs premiers égal à un nombre donné quelconque n , r 2° trouver 
elïectivement ces facteurs. 11 a été question ci-dessus du premier pro 
blème. Nous faisons maintenant allusion au second. 
( s ) Les arithméticiens démontrent, on le sait, que l’on peut obtenir le 
plus grand commun diviseur de deux nombres en appliquant la règle 
suivante : On divise le plus grand nombre, a, par le plus petit, h ; si la 
division se fait exactement, b est le plus grand diviseur cherché ; sinon 
on dix ¡se h par le reste r de la division effectuée ; puis on divise le divi 
seur i de cette nouvelle division par le reste qu’elle fournit ; et ainsi de 
suite jusqu’à ce que l’on ait une division qui se fasse exactement ; le 
dernier nombre employé comme diviseur sera le plus grand commun divi 
seur cherché.