EQUATIONS CLASSIQUES DU PREMIER ORDRE
46l
quantitates utcumque datas per x denotant — construere [c’est-
à-dire : résoudre l’équation ay' = yp + by n q, où a et 6 sont
deux constantes, y" une puissance de y et p et q deux fonctions
de x]. Ce problème (‘) fut repris en 1697 P ar Jean Benouilli
(Acta erudito? uni, Mars 1697) : on en ramène fort aisément la
solution à l’intégration d’une équation linéaire. En effet, l’équa
tion de Jacques Benouilli peut s’écrire :
y'
(10) «•Uïï=/>0)-J , ~ n + b.q(x).
Faisons alors un changement de variable en prenant pour nou
velle fonction inconnue la quantité z = y 1 -' 1 ; nous avons
z' = (1 — n)y~ n y'; donc l’équation (10) équivaut à
(n) TZT~n z ' = p ( x ) ■ z ’ + b • ^( æ )’
équation linéaire que l’on sait intégrer (n° 488).
490. Equation de Riccati( 2 ). — On appelle ainsi les équa
tions de la forme
(12) y' = ?o(«) + y ■ <Pi(x) + y 3 ■ <p 2 (æ),
dont le second membre est un polynôme du second degré en y,
ayant pour coefficients des fonctions quelconques de x. L’équa
tion (12) n’est intégrable au sens du n° 478 que si l’on en connaît
déjà une intégrable particulière ; en ce cas elle peut être ramenée à
une équation de Bernouilli.
Supposons en effet que nous connaissions une fonction u qui
(*) Si l’on veut écrire la forme générale de l’équation de Bernouilli, il
est inutile d'y introduire des coefficients constants a et b ; on écrira :
y' = p( x ) • y + qi x )-y n .
p[x) et q[x) désignant deux fonctions quelconques de x.
( 2 ) Le comte vénitien Jacopo Riccati (1676-1754) n’étudia en réalité
qu’une équation particulière du type (12), l’équation
du
nx =dï+ UX ■
où m et n sont des nombres connus (Animadversiones in æquationes diffe-
rentialts secundi gradus, apud Actorum eruditorum supplémenta, t. VIII,
1724, p. 73).