PROBLÈMES DIVERS RELATIFS AUX NOMRRES 
3l 
appelons y le quotient. Nous aurons, suivant que a X x est plus 
grand ou plus petit que c, Tune des égalités 
a X x — c — b X y ou c = aXx-{-bXy. 
Ainsi, dans le cas où la congruence admet des solutions, il existe 
des couples de nombres x et y satisfaisant à l’une des égalités 
écrites ci-dessus. Réciproquement, s’il existe un couple de nom 
bres x et j satisfaisant à l'une de ces égalités, le nombre x de ce 
couple est une solution de la congruence indéterminée. 
Une égalité telle que 
a X x H- b X y = c 
et, d’une manière générale, toute égalité (équation) qui doit être 
satisfaite lorsque l’on donne à x et y des valeurs que nous ne con 
naissons pas encore, est appelée « équation arithmétique indéter 
minée » f 1 ). A priori nous ignorons quelles sont les valeurs de x 
et y; nous ne savons même pas s’il est possible de trouver deux 
nombres x et y vérifiant l’égalité donnés. Lorsque de tels nombres 
existent, ils sont appelés « solutions de l'équation ». « Résoudre 
une équation », c’est en trouver les solutions. 
Comme le montre l’exemple que nous venons de donner, l’étude 
des équations arithmétiques est intimement liée à celle des con 
gruences. 
27. — Les arithméticiens ont étudié de nombreuses équations 
Indéterminées 2 ), et quelques-unes de ces équations sont restées 
célèbres. 
f) Les mots «équation», «solution», que nous omployon ici sont 
empruntés à l’algèbre. Et en effet l’égalité proposée n’est autre qu’une 
équation algébrique (voir Deux. Liv.). Mais nous ne rechercherons ici que 
celles des solutions de l’équation qui sont des nombres entiers. L’équa 
tion algébrique aXx+hxy— c, k deux inconnues, n’aurait pas de 
solutions déterminées (elle pourrait être satisfaite quel que soit x pourvu 
que y ait une valeur convenable) : c’est pourquoi cette équation est 
appelée, en algèbre comme en arithmétique, « équation indéterminée ». 
( 2 ) Diophante, le grand arithméticien grec, qui vécut probablement au 
IV e siècle ap. J.-C., étudia de nombreuses équations indéterminées. Il 
chercha en particulier dans quels cas l’équation Ax x 2 + Bx y 2 + G = y 2 , ou 
A, B, C sont trois nombres entiers (ou, plus généralement, rationnels, 
vide infra, § 6) admet pour solutions des nombres x et y entiers (ou