ÉQUATIONS CLASSIQUES DU PREMIER ORDRE 
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Toute fonction y de x qui satisfait à l’équation (i3) satisfera 
nécessairement à l’équation (i4). Quelles sont donc les solutions 
de l’équation (i4) ? 
Ce sont d’abord les fonctions y dont la dérivée seconde y" est 
nulle, dont par conséquent la dérivée première y : est constante. 
Il est facile de voir, que parmi ces fonctions, une infinité vérifient 
l’équation (i3). En effet si y' — G (G constante) il suffit que 
y—Cx = f[G) pour que l’équation (i3) soit satisfaite. Donc les 
fonctions y — Cx H- /(G) où G est une constante arbitraire sont 
toutes solutions de l’équation (i3) : elles en constituent Fintégrale 
générale. 
Mais l’équation (i4) n’admet pas seulement les solutions que 
nous venons de considérer. Elle est encore satisfaite si y est une 
fonction telle que x -h f'{y') — o : si donc l’on peut déterminer 
une fonction y vérifiant à la fois les deu\ égalités 
( 1 5) 
j æ +/(/) = ° 
( y — x -y' =■/(/)> 
cette fonction sera solution de l’équation (i3). Or considérons les 
équations (i5) comme deux équations algébriques ou transcen 
dantes entre lesquelles nous éliminerons la quantité y' [voir n°3291 : 
il nous restera une relation entre x et y (ne contenant d’ailleurs pas 
de constante arbitraire) qui définit implicitement une intégrale de 
l’équation (i3) : celte intégrale ne fait pas partie des intégrales déjà 
trouvées ces dernières sont des polynômes du premier degré en x, 
tandis que la nouvelle intégrale sera en général une fonction bien 
plus compliquée) ; elle est appelée « intégrale singulière ». 
Nous voyons, par cet exemple, qu’une équation différentielle est 
susceptible d’admettre d’autres solutions que celles qu’on obtient 
en particularisant la valeur de la constante G dans l’expression de 
l’intégrale générale. 
On peut d’ailleurs démontrer que l’équation de Clairaut n’a pas 
d’autres intégrales que son intégrale singulière et les intégrales 
y — Cæ -i- f[G). 
492. Exemple. — Considérons l’équation