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LES NOMBRES 
Telle est l’équation de Pythagore 
x 2 -h y- = 2 2 . 
Cette équation est vérifiée par les valeurs x = 3, y = 4, z = 5 
(puisque q H - iô == 25), et elle admet une infinité d auties solu 
tions qui ont une signification géométrique simple. Si 1 on cons 
truit, en elïet, un triangle rectangle dont les trois côtés aient 
pour longueurs des nombres entiers, il resuite du fameux théo 
rème de Pythagore sur le carré de l’hypoténuse (199) que les 
trois longueurs satisfont a 1 équation x- -y- y~ z . 
Considérons maintenant l’équation 
x 3 H- y 3 = 2 3 . 
On savait déjà au xvu° siècle qu’elle n’a pas de solution, et ce fait 
fut démontré rigoureusement par Euler. 
Fermât alla plus loin ( 4 ), et déclara avoir démontré que l’équation 
| yTH 2 m 
est, pour rn—2, une équation « impossible en nombres différents 
de zéro ». Mais Fermât se borna à énoncer ce résultat sans donner 
ses preuves ; et, si l’exactitude de la proposition a pu être établie 
rigoureusement pour les valeurs de rn moindres que i ooo, la solu 
tion générale du « problème de Fermât » continue de se dérober 
aux efforts sans cesse réitérés des mathématiciens du monde entier. 
Nous voyons, par ces exemples, que les problèmes qui se rat 
tachent aux équations arithmétiques n’aboutissent bien souvent 
qu’à la constatation d’une impossibilité. Mais, s’ils nous causent 
des déceptions, ils nous conduisent aussi parfois à de beaux théo 
rèmes auxquels nous ne nous attendions pas. En voici un, entre 
bien d autres, que nous n’aurions certes pas pu prévoir a 
plus généralement rationnels). Il en est ainsi : i° Si A et C sont nuis; 
2 e Si A est le carré d’un nombre entier (ou rationnel); 3 e Si C est le 
carré d’un nombre entier (ou rationnel). Cf. Heath, Diophantus of Alexan 
drie, 2 e éd. Cambridge, igro, p. 67 et suiv. — Les mathématiciens hindous 
[aide supra, n° \ et infra, Deux. Fiv.'j ont résolu également diverses 
équations arithmétiques. 
(') Observations sur Diophante, Œuv. de Fermât, t. I p. 291.