PROBLÈMES DIVERS RELATIFS AUX NOMBRES
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1 avance ( J ). « iout nombre peut être considéré comme la somme de
quatre nombres carrés (o étant compris parmi les nombres) ». Ainsi
■21 = 4 2 H- 2 2 -4- l 2 + O 2 , 2 2 = 4 2 + a 2 i 2 -i- i 2 ,
23 — 3 2 -+• 3 2 -+- 2 2 -h i 2 , etc.
28. Problèmes divers. — Parmi les problèmes secondaires,
auxquels on ne veut plus accorder aujourd’hui qu’un intérêt de
curiosité, il en est cependant qui ont un brillant passé.
Nous avons déjà parlé (3) des nombres parfaits et des nombres
amis. Ces nombres, et d’autres analogues, auxquels conduit la
considération de la somme des diviseurs d’un même nombre, ont
provoqué, dès l’antiquité, de nombreuses recherches ( 2 b
On appelle d’ordinaire « parties aliquotes » d’un nombre l’en
semble de ses diviseurs (le nombre lui-même excepté, mais l’unité
comprise). Un nombre non parfait est, d’après la terminologie
pythagoricienne, abondant ou déficiant suivant que la somme de
ses parties aliquotes lui est supérieure ou inférieure. Un nombre
abondant égal à la moitié ou au tiers, ou au quart de la somme de
ses parties aliquotes, est dit sous-double, ou sous-triple, ou sous-
quadruple.
Delà, une foule de questions. En i63i, Mersenne ( 3 ) propose
de trouver un nombre, autre que 120, qui soit sous-double. En
iGSy, Fermât ( 4 ) adresse aux mathématiciens de toute l’Europe un
défi en règle, où il demande de trouver un cube qui augmenté de
ses parties aliquotes soit un carré, et un carré qui, augmenté de
ses parties aliquotes, soit un cube.
Fort anciens également sont les problèmes relatifs aux carrés
magiques.
On appelle carré magique de ir cases un carré où sont disposés
(comme sur un damier) n 2 nombres, appelés éléments du carré, (*)
(*) Ce théorème énoncé par Bachet dans ses commentaires sur Dio
phante (Diophanti arithmeticorum, libri, IV, éd. Bachet, Paris 1621. p. 180)
a été démontré rigoureusement, par Lagrange [Nouv. mém. de l’Ac. de
Berlin, année 1770, p. 128) et par Euler (1777).
( 2 ) Cf. dans VEncycl. des Sc. math., I, i5, le n° 28 rédigé par Paul
Tannery.
( 3 ) Œuv. de Descartes, éd. Adam-Tannery. I, p. 229.
( 4 ) Cf, Œuv. de Fermât, t. II, p. 332.
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique.
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