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l’algèbre géométrique 
je dis que le carré de AB est égal aux carrés [des segments AF,TB, 
et à deux fois le rectangle contenu sous AF,I B... [Suit l’apagoge, 
etc., voir n° 2251. 
517. —L’identité établie par la proposition suivante des Elé 
ments (liv. II, 5) n’est pas moins importante : 
« Si, — dit Euclide, •— une ligne droite est coupée en parties 
« égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments 
a inégaux de la droite entière, avec le carre de la droite placée entre 
« les deux sections, est égal au 
« carré de la moitié de la droite 
« entière. 
« Car, qu’une droite AB soit 
« coupée en deux parties égales 
« au point F, et en deux parties 
« inégales au point A, je dis 
« que le rectangle compris sous 
« AA, AB, avec le carré de FA 
En d’autres termes, on a sur la fig. 169 : rectangle AA0K (de 
dimensions AA et A0 égale à AB) + carré A0HE (de dimension 
A0 = FA) = carré FBZE. 
Si donc nous appelons a la mesure de AA, h celle de AB nous 
avons (puisque F est le milieu de AB) 
A TA 
K A 
0 
E H 1 
Fig. 169. 
« est égal au carré de FB. :> 
ou 
a -+- 6\ 2 
~) ’ 
a -h 6\ 2 I a — b\ 2 
2 j \ 2 ) 
518. — En partant de ces constructions fondamentales, les pre 
miers géomètres grecs pouvaient « résoudre » — dirions-nous en 
langage moderne — divers types d’ « équations du premier et du 
second degré ». 
Soit par exemple à trouver un carré égal à la différence de deux 
carrés donnés [résolution de l’équation x 2 = a 2 — 6 2 ] : on résoudra 
le problème en construisant un triangle rectangle ayant Fbypoté-