L ÉTUDE GRAPHIQUE DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 5l5
On démontrera de même que le polynôme/(îc, y) a un signe inva
riable pour toutes les positions du point M (de coordonnées x, y)
extérieures à la courbe.
D’ailleurs, il est facile de démontrer (') que si le polynôme f{x, y)
est positif à l'intérieur de la coarhe (c’est-à-dire pour les positions
de M intérieures à la courbe), il est négatif à l'extérieur ; et inver
sement, s’il est négatif à l'intérieur, il est positif à l’extérieur.
Ainsi les systèmes de valeurs de x et y pour lesquels on a f{x, y) > o
sont les coordonnées de tous les points situés, soit à l’intérieur, soit
à l’extérieur de la courbe.
L’étude des inégalités correspondant à des courbes de formes
plus compliquées sera souvent plus délicate, mais pourra être faite
d’une manière semblable.
3. — L’étude graphique des fonctions d’une variable.
549. — Nous avons dit que la méthode cartésienne de figuration
permettait de trouver et d’interpréter très simplement les princi
pales propriétés des fonctions d’une variable. Et de fait, au fur et
à mesure qu’apparaissaient et se précisaient ces propriétés (auxvn 6 ,
au xvur, et pendant la première moitié du xix e siècle), elles s’expri
maient immédiatement en langage géométrique. Comment et sous
quelle forme au juste, c’est ce que nous allons voir en suivant pas
à pas les définitions et les propositions du chapitre n.
550. Fonction définie dans un intervalle (cf. 391). Branches
de fonction (cf. 395). — Dire qu’une fonction est définie dans un
intervalle«, b, c’estdire que la courbe représentative est définie pour
les abscisses comprises entre deux valeurs a et b, et par conséquent
entre les parallèles à l’axe des y menées par les points A et B de
l’axe XOX, extrémités des abscisses a et b (fig. 197). (*)
(*) S’il n’en était pas ainsi, la fonction f x, y) se trouverait être posi
tive ou nulle pour toutes les positions du point M dans le plan. Or on
démontre que cette circonstance ne peut se présenter pour aucun
polynôme.