L ÉTUDE GRAPHIQUE DES FONCTIONS d’uNE VARIABLE 5 I 7
géométrique : une (onction de x sera, par définition, une fonction
continue dans un intervalle, si la courbe ou branche de courbe
correspondante peut être tracée d’un trait continuet si, d’autre part,
elle ne coïncide, dans aucune de ses parties) avec une parallèle à
l’axe des y (un segment parallèle à l’axe des y à la distance a de
l'origine représenterait, en effet, une fonction qui, pour la valeur a
de x, sauterait d’une valeur à une autre) (/).
553. Pôles et infinis (cf. 398). — Si une branche de fonction
devient infinie lorsque .x, variant avec continuité, atteint une certaine
valeur (finie) x 0 , la branche de courbe correspondante s’éloigne
indéfiniment en se rapprochant de plus en plus de la parallèle à
l’axe tics y menée par l’extrémité de l'abscisse x 0 : elle est dite
asymptote à celte droite.
Si la fonction y — f{x) existe pour des valeurs de x situées de
part et d’autre de la valeur de x 0 (qui estun pôle ou infini, voir 398), il
va deux branches de courbes asymptotes à la même droite, à gauche
et à droite, comme il arrive dans l’exemple que nous avons consi
déré au n° 546) ( 2 ).
Voici, d’ailleurs, d'autrescxemplesde fonctions qui présentent des
pôles ou infinis.
. ... 3x 2 — 6x -+- 2
h onction (y') y
w \. Cette fonction devient infinie
i)(x — 2)
(présente un pôle) lorsque x prend l’une des valeurs o, i, 2 qui
annulent le dénominateur. La courbe représentative a la forme
représentée par la figure 199 ; elle a des branches asymptotes à
l’axe des y et aux parallèles à l’axe des y menées par les points
d’abscisses -+- 1 et -h 2.
(*) Nous verrons en géométrie analytique qu’une parallèle à l’axe des y
a pour équation x = a : il ne lui correspond aucune fonction de x.
( ! ) Plus généralement la fonction?/ = fonction homographique,
CCC 1 Cl
dont les coefficients a, h, c, d sont des nombres quelconques, est repré
sentée par une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes
de coordonnées.
( a ) On peut écrire (en effectuant l’opération indiquée au n° 3y4)
y = - + H .
x x — 1 x — 2