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l’algèbre géométrique 
Considérons alors un point M de la courbe que nous rapproche 
rons de plus en plus du point M 0 correspondant à l’abscisse x 0 . 
Lorsque la valeur absolue de y' est arbitrairement grande, la 
direction de la tangente définie au n° 554, ayant un coefficient 
angulaire arbitrairement grand — se rapproche arbitrairement de 
la direction parallèle à Taxe des y. Nous en concluons qu’aux 
points de la courbe représentative où la dérivée a une valeur infinie, 
la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des y. 
4. — Les équations différentielles du premier ordre 
561. — Considérons une équations différentielle du premier 
ordre (vide 472) : 
(i) V{x, y, y') —o 
ou, en résolvant (*) par rapport à y' : 
(ibis) y' =f{x,y). 
Nous avons vu que, lorsqu’elle est intégrable (voir 478) celte 
équation a une infinité de solutions (ou intégrales particulières) 
qui sont des fonctions de x : en particulier, si l’on se donne un 
système de valeurs (arbitraires) x 0 et y 0 des variables x et y, il 
existe en général une et une seule fonction j = /(x) solution de 
l’équation (i), prenant pour x = x 0 la valeur y = j 0 [intégrale 
déterminée par les conditions initiales x 0 , y 0 (voir 477)]. 
Pour interpréter géométriquement ces laits, envisageons la 
courbe représentative d’une quelconque des fonctions y = /(x) 
qui sont solutions de l’équation (i) : on voit que celte courbe peut 
être caractérisée par la propriété suivante : le coefficient angulaire 
de la tangente en un point quelconque de la courbe est déterminé 
par les valeurs des coordonnées du point, conformément à la rela 
tion (i). Ainsi la courbe — que l’on appelle souvent, pour 
abréger, courbe intégrale de l’équation différentielle — se trouve 
(') Cf. p. 446, note i.