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l'’algèbre géométrique
dans sa Géométrie (vide n° 249); il y avait au surplus, semblait-il,
quelque chose de choquant à représenter par une courbe ou fonc
tion transcendante la solution d’un problème dont l’énoncé n’im
plique que des opérations algébriques ; ne convenait-il pas plutôt
de déclarer le problème insoluble? C’est, on se le rappelle, une
difficulté du môme genre que nous avons déjà rencontrée dans la
théorie des fonctions primitives (voir n° 453 et infra n° 570).
563. — Quoi qu’il en soit, le problème de Florimond deBeaune
ne tarda pas à être résolu dans des cas nombreux et une étude sys
tématique en fut faite par Barrow le professeur de Newton dans ses
Lecliones yeometricæ (1669-70) [voir p. 621, note il. L’identité
du problème inverse des tangentes et du problème des aires (ou
recherche des fonctions primitives) fut alors reconnue, et la théorie
des équations différentielles — dont nous avons par avance posé
les bases au chapitre 11 en nous plaçant au point de vue de l’algèbre
pure — se trouva fondée.
564. Construction graphique de l’intégrale. — L’interpré
tation géométrique que Barrow donnait des équations différentielles
ne sert pas seulement à en illustrer la théorie. Elle fournit un pro
cédé pratique permettant de construire effectivement les courbes
intégrales des équations non encore intégrées, ou du moins des
lignes se rapprochant beaucoup (arbitrairement) de ces courbes
intégrales.
Partons de l’équation
( 2 ) j'=/( æ >j)’
supposée non-intégrée, et proposons-nous de déterminer d’emblée,
par un procédé graphique, la figure approximative de la courbe
intégrale de cette équation qui est déterminée par les conditions
initiales x 0 , j 0 , c’est-à-dire passe par le point M 0 de coordonnées
x 0 , Jo-
fout d’abord, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe
cherchée au point M 0 est connu : il a pour valeur [d’après l’équa
tion (2)] : yd = f{x 0 ,y 0 ). La tangente géométrique à la courbe en M 0
est donc connue : appelons-la M 0 T 0 (fig. 207). Admettons, main-
nant, pour un moment, qu’au voisinage de Mo, la courbe cherchée
