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l’algèbre géométrique
une infinité de courbes intégrales. [Plusprécisément, par tout point
du plan nous en pouvons faire passer une],
565. — La construction que nous venons d’indiquer constitue
ce que l’on appelle une méthode graphique de résolution des équa
tions différentielles. La simplicité de cette construction nous inspire
immédiatement une idée : ne pourrait-on pas se fonder sur elle, non
seulement pour représenter les intégrales des équations, mais pour
en démontrer F existence? Il est, on l’a vu, un grand nombre
d’équations différentielles que nous sommes incapables d’intégrer
(au sens du n° 478) : cela étant, rien, dans l’état actuel de nos con
naissances, ne nous autorise à affirmer à l’avance que ces équations
ont effectivement des solutions ou intégrales ; cependant nous
pouvons toujours leur appliquer la méthode de résolution gra
phique décrite ci-dessus, et cette méthode nous conduira toujours
à une ligne brisée M 0 , Mi, ... qui se rapprochera arbitrairement
d’une courbe ( 1 ) lorsque ses côtés seront arbitrairement petits.
[C’est un fait intuitivement évident qu’il en est bien ainsi, du moins
lorsquef{x,-y) est une fonction continue de x et y\. Ne pouvons-
nous, dès lors, considérer la position-limite prise par la ligne bri
sée M 0 M i; ... (lorsque la longueur de ses côtés tend vers zéro) comme
une courbe intégrale, et démontrer rigoureusement que la fonction
représentée par cette courbe est une solution de notre équation ?
Hâtons-nons de dire que ce mode de démonstration a été effec
tivement utilisé et qu’il est aujourd’hui passé dans la pratique
courante. Mais l’exemple du problème de Beaune (562) nous
montre que des difficultés, alors insurmontables, devaient arrêter
au xvii e siècle ceux qui auraient voulu l’employer. Le raisonnement
que nous avons esquissé soulève en effet deux questions préalables
auxquelles il n’était alors pas possible de répondre : Sous quelles
conditions une ligne tracée sur le papier est-elle une courbe géo
métrique, et sous quelles conditions une courbe représente-t-elle
une fonction ?
( l ) Je prends ici le mot « courbe » dans son sens le plus général
ligne tracée d’un trait continu.
