fonctions primitives représentées par des aires 531 
5. — Fonctions primitives représentées par des aires 
(intégrales définies). 
566. — Déterminer la, ou, plus exactement, les fonctions 
primitives, d’une fonction y = f(x), c’est résoudre ou intégrer 
l’équation différentielle y' — f{x) [vide, 467] ; le problème de la 
recherche des fonctions primitives (ou calcul des intégrales indé 
finies, voir chap. ii, §5) n’est donc qu’un cas particulier du problème 
étudié au § 4. — Mais l’on peut donner de la fonction primitive 
une interprétation géométrique spéciale, fort avantageuse, qui n’a 
point d’équivalent dans la théorie générale des équations différen 
tielles. Nous allons exposer cette interprétation, non point exacte 
ment telle qu’elle se présenta historiquement aux premiers algé- 
bristesqui en iirentusage, —carelle fut toutd’abord rattachée à des 
considérations relatives aux « infiniment petits » dont nous ne 
parlerons que plus tard (Troisième Livre) et qui ne feraient, pour 
l’instant, que l’obscurcir à nos yeux —, mais telle que se la peut 
imaginer le lecteur qui est en possession de la notion moderne 
de dérivée. 
567. — G était, nous I avons vu, l’un des plus anciens problèmes 
de la géométrie classique que celui qui a trait à la mesure des aires et 
des volumes, déterminés, dans le plan ou dans l’espace, par des lignes 
ou des corps diversement situés. Archimède était passé maître en ce 
genre de calcul, où il employait avec le plus grand succès la méthode 
dite d'exhauslion (cf. n os 58, 64). De nombreux géomètres des temps 
anciens et modernes (*) étudièrent Archimède, le commentèrent 
et s’engagèrent sur ses traces. 
L’une des questions le plus fréquemment posées était la sui 
vante : mesurer ou calculer une aire plane (segment plan) déter 
minée par une courbe connue et par deux droites rectangulaires, ou 
bien par une courbe, deux droites parallèles et une troisième perpen 
diculaire [telles les aires OMB et AMNB, couvertes de hachures sur 
les figures ci-contre]. Ainsi, Archimède avait déterminé la valeur de 
i 1 ) Voir Trois. Liv., ch. n § i.