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l’algèbre géométrique
l’aire OMB dans le cas (’) où l’arc OM (sur la fig. 209) est un arc
de la parabole qui a pour sommet 0 et pour axe OB [celte courbe
est telle que les carrés des ordonnées de ses points sont proportion
nels ( 2 ) aux abscisses ; y 2 = 2px (vide 528) : elle est donc repré
sentative de la fonction y—s/^px]. Généralisant la question,.
Fermât avait étudié le cas où la courbe OM ou MN est une pa
rabole d’un genre supérieur : « J’ai quarré ( 3 ) — écrit-il à Mer-
senne ( 4 ), en i636 — infinies figures comprises de lignes
courbes ; comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme
la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées [ordonnées]
soient en proportion des [proportionnelles auxJ lignes qu’elles
coupent du diamètre ( 3 ) [abscisses]. Cette figure approchera delà
parabole et n’en diffère qu’en ce qu’au lieu qu’en la parabole on
prend la proportion des carrés, je prends ici celles des cubes ; et
c’est pour cela que M. de Beaugrand à qui j’en fis la proposition
l’appelle parabole solide ». La parabole solide est représentative de
la fonction y = \J2px ; Fermât « quarre » semblablement les seg
ments plans OMB déterminés par des paraboles quarré-quarrées y
quarré-solides, etc., c’est-à-dire représentatives des fonctions
y = {/чрх, y = \/2.px, etc. Or, en cherchant à quarrer les
segments plans définis par de telles courbes ou d’autres sem
blables, on ne pouvait manquer d’apercevoir l’étroite connexité
qu’il y a entre ces problèmes de quadrature et la notion de déri
vée d’une fonction. (*)
(*) Le segment plan est alors un « segment parabolique ».
( 2 ) C’est-à-dire que le carré de l’ordonnée d’un quelconque des points de
la courbe est égal à l’abscisse multipliée par un nombre constant.
( 3 ) Evalué l’aire de.
( A ) Œuv. de Fermât, t. И, p. 7З.
( 5 ) En parlant tout à l’heure de la parabole ordinaire, nous avons sup
posé que OB (sur la fig. 209) n’était pas un diamètre quelconque, mais,
l’axe de la courbe. Les hypothèses de Fermât s’appliquent en réalité à
un cas plus général. Comparer, n° 629.