568. Imaginons que, sur la figure 210, où nous avons tracé
deux axes de coordonnées rectangulaires, le point A reste fixe
tandis que le point B est variable sur l’axe des x à droite de A :
appelons a 1 abscisse constante de A, x l’abscisse variable du
point B. Supposons, d autre part, que MN soit un arc d’une
courbe quelconque — représentative d’une fonction y = f(x)
— compris entre les parallèles à OY menées par A et B ; l’aire
du segment plan AMNB varie quand x varie (c’est-à-dire quand
B se déplace) et sa valeur se trouve (pour chaque position
de B) déterminée par la valeur de la variable x. Donc l’aire
du segment AMNB est, au sens large du mot, une fonction
de x.
Admettons que nous ayons en effet le droit d’assimiler cette aire
aux « fonctions » proprement dites, dont nous avons fait plus haut
l’étude, et désignons-la par F (ce).
La fonction F (x) est évidemment
continue si la fonction /(x) est
elle-même continue, car l’aire AMNB
varie arbitrairement peu lorsque B
se déplace arbitrairement peu. Nous
allons voir, d'autre part, que F (x)
admet une dérivée, qui n est autre
que la fonction f{x) d'où nous sommes partis.
A partir de la valeur OB = x, donnons à la variable indépen
dante un accroissement Ax; le point N' de la courbe qui a pour
abscisse OB' = x H- Ax, a pour ordonnée B'N' = y -4- Ay [en ap
pelant y (c’est-à-dire/(x)) l’ordonnée BN (égale à B K, fig. 211),
et Ay l’accroissement KN' subi par cette ordonnée lorsque l’abscisse
passe de la valeur x à la valeur x + Ax]. L’accroissement corres
pondant AF de la fonction F(x), c’est-à-dire de Faire AMNB, est
manifestement Faire BNN'B' limitée supérieurement par Farc NN' ;
la valeur de cette aire est comprise (fig. 211) entre celles des rec
tangles BNKB' [de dimensions Ax, y] et BHN'B' [de dimen
sions Ax et j H- Ay], donc entre yAx et (y -h Ay)Ax. Son rap
port à Ax est par conséquent compris entre y et y H- Ay ; lorsque
Faccroissement Ax et l’accroissement Ay tendent simultanément
;s zéro, le rapport — compris entre y et une quantité y Ay
ver
