ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES D’APPROXIMATION 53g,
La suite des nombres a, a, fi, X, b est souvent appelée suite
Je Rolle relative a 1 équation f{x) = o. Les nombres de cette suite
« séparent » les racines simples ( l ) de/(a;).
575. Extrémités de la suite de Rolle. — Les intervalles
(a, a), (a, fi), ... que nous avons considérés ci-dessus ont tous
été supposés compris dans un intervalle (a, b) où f{x) et f'{x}
sont continues. Dans le cas où fix) est un polynôme, cette fonction
et sa dérivée sont continues pour toute valeur finie de la variable ;
nous pouvons donc prendre comme nombres a et 6 des nombres
de valeur absolue arbitrairement grande, l’un négatif, l’autre po
sitif : nous dirons alors — en nous référant aux signes introduits
au n’ 398 — que la suite de Rolle est composée des nombres
, 3, p, ... A, —f— GO .
D’ailleurs, lorsque l’on donne à x une valeur positive ou néga
tive très grande, le polynôme f{x) a nécessairement le même
signe ( 2 ) que son terme de plus haut degré, soit a n x n . Si n est un
valle — 2 + 2, qui comprend —■ i et + i et écrivons sous chacun des
nombres — 2. — i, i, 2, les signes qu’ils fournissent [c’est-à-dire les
signes de /(— 2), /( — i), /(i), /(2;], nous obtenons :
— 2 — J I 2
— + — +,
d’où résulte que l’équation proposée a une racine dans chacun des inter
valles (2, — 2), (— t, + 1), (t, 2); elle a ses trois racines réelles.
(*) Si f x) a des racines multiples, ces racines font partie des nombres
1, ¡3, ..., X. Nous pourrions d’ailleurs nous dispenser de considérer le cas
où f x, a des racines multiples, étant donné que la résolution d’une équa
tion polynomale quelconque peut toujours être ramenée à la résolution
d’équations dont toutes les racines sont simples (voir 423).
( 4 ) Soit f X; polynôme de degré n et ordonné sous la forme
a n x n + a )Z _ iX n ~' + ... + a.x + a r
Nous pouvons écrire
/(*)
x n
<hi +
U-n—i
X
+ ... +
a i 1 M.
a;’ 1 - 1 /'
Lorsque x devient arbitrairement grand en valeur absolue, tous les termes