CALCUL APPROCHÉ. PUISSANCES FRACTIONNAIRES
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illimitée [le mot illimitée signifiant que, si l’on veut pousser de
plus en plus loin l’approximation, on doit, dans le nombre décimal
qui représente la fraction, ajouter, Indéfiniment, de nouvelles déci
males].
Les fractions décimales illimitées ont été étudiées par Cavalier!
(Trigonometria, 1643, chap. xxiv) et, d’une manière plus com
plète et plus précise, par Wallis [Algebra, 1698, chap. lxxxix).
48. Valeur approchée d’une racine. — L’idée de remplacer
le calcul exact par un calcul approximatif est une idée dont la
fécondité nous apparaîtra de plus en plus. Proposons-nous de
l’appliquer au problème de l’extraction des racines.
Nous avons vu (n° 37) que l’extraction de la racine p ième d’une
fraction
M
m
n’est pas toujours une opération possible. Je vais montrer
en revanche que, quelle que soit la fraction on peut trouver une
fraction ^ dont la puissance p ième diffère de ~ aussi peu que l'on
N
voudra. Il sera dès lors naturel de dire que la fraction — est une
valeur approchée de la racine p ième de —. Ainsi, quoique cette
racine p ième ne soit pas en général un nombre rationnel, nous
pourrons la traiter comme si elle en était un et la représenter par
sa valeur appprochée, que nous appellerons racine approchée.
Cherchons, par exemple, « la valeur approchée de la racine
M N
de — à une unité près » — c’est-à-dire une fraction — dont la puis
sance n ième diffère de — de moins d’une unité. Nous avons démon-
1 m
tré (n° 40) que, quel que soit l’entier p, si a et 6 sont deux nom
bres quelconques, l’inégalité a <4 b, entraîne comme conséquence
l’inégalité a p <C b v . Ecrivons alors la suite des nombres
I, 2 2 ', 3l\ 4P, ....
Celte suite est une suite croissante de nombres de plus en plus
grands : j’en conclus qu’il y a, dans cette suite, deux termes conse
cutifs a p , (a -t- i) 2 ', et deux seulement, entre lesquels est comprise
la fraction — ; je dois donc regarder la racine p ime du terme ai j
m J D