CALCUL APPROCHÉ. PUISSANCES FRACTIONNAIRES
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cbimècle (287-212 av. J.-G.) consacra au calcul approché de»
racines carrées quelques-uns de ses plus beaux travaux ()). Aux
environs de l'an 1200, l’algébriste arabe, Omar al Khayyam ( 2 ) se
vantait d’avoir donné une méthode permettant d’eflectuer l’extrac
tion d’une racine d’ordre quelconque. A l’époque de la Renaissance,
enfin, où de fortes tendances utilitaristes tendent à remettre en
honneur l’Arithmétique pratique, le calcul approché est devenu
— définitivement cette fois — l’un des chapitres principaux de la
science des nombres.
50. Généralisation de la notion de puissance. Exposants
fractionnaires. — Grâce aux conventions que nous avons faites,
toutes nos opérations ont maintenant un sens, exact ou approché,
quels que soient les nombres (entiers ou rationnels) sur lesquels
elles portent. Seules les deux dernières opérations (élévation aux
puissances et extraction des racines) sont encore soumises à une
restriction en ce qui concerne les exposants et 1’« ordre des ra
cines » : en effet, les symboles a v , \Ja ; ne représentent des opéra
tions légitimes que si le nombre p est un entier. Ne serait-il pas
possible d’imaginer une nouvelle convention qui confère un sens
à ces symboles dans le cas on le nombre p est fractionnaire ? Notre
arithmétique y gagnerait en unité et en clarté.
Nous réaliserons ce progrès en fondant en une les deux opéra
tions de l’élévation aux puissances et de l’extraction des racines.
Convenons de poser, quels que soient les entiers m et n, et le
nombre a :
1 m
\/a = a n , '\Ja m — a n .
1 m
Je dis que les « puissances à exposants fractionnaires » a n , a n
jouissent des mêmes propriétés fondamentales que les puissances
ordinaires, qu’elles se comportent semblablement dans les calculs,
et que, par conséquent, la convention en vertu de laquelle nous les
regardons comme des puissances est une convention légitime.
(*) Cf. Hultsch, Die Näherungswerte irration. Quadratwurzeln hei
Archimedes, Ahh. der Kgl. Gesellsch. d. Wissench. zu Göttingen, 1898.
(*) Cf. Tropfke, Gesch. d. El. Math., I, p. 2x1 et infra, n° 278.
