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LES NOMBRES
En effet, les propriétés fondamentales des puissances a exposants
entiers sont résumées (voir n os 9 et 36) par les égalités suivantes ( J ) :
(1) a *’Xa« = a p+î
( 2 ) ~ q = aP ~ q > si P > ( l ou % = ¡¡Fp» si ( l > p
(3) (a?)* = aP-i = {ai}’. '
I
Remarquons d’abord que la définition même des puissances a n ,
m
a n donne
i / m\ n
(a«)"==a, \a' i r = a,
ce qui est conforme à la propriété numérotée (3).
Je dis, d’autre part, que les puissances fractionnaires jouissent
de la propriété (i), c’est-à-dire que l’on a
ni ni ni ^ ru
a n x a n = a n n ' = a
m. n' -)- in!. n
n. n'
•quelles que soient les fractions ( 2 ) —.
m'
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. Posons, en effet
m m' rn.n'-j-m'.n
b = a n , c — a n , d = a n - n
Je tire de là, par définition :
b n — a m , c n = a m ; donc b ,l - n '= a m - n ', c n '- n = a m '- n ;
et, par conséquent
(b x c) n ■ n ' = b n ■ n ‘ x c n ■ n ' r=z a m • n ' + m '- n ; d’où b Xc=d,
ce qu’il fallait démontrer.
Ln calcul analogue nous permettra de vérifier que les puissances
(fi Les signes x et . s’emploient indistinctement dans le sens de
multiplié par (n° 7) ; par [a’ J ) q j’entends « puissance çème de a p ».
(‘) Les symboles m, n se lisent m prime, n prime; je m’en sers
pour représenter des nombres autres que m et n, mais jouant un rôle
équivalent (cf. p. i4, note 1).