- /. LES GRANDEURS 
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une surface (surface recourbee, que Ion pourrait theoi icjuemenf 
appliquer sur un plan, et dont la grandeur est pai consequent 
comparable à la grandeur d’une surface plane telle que celle d’un 
carré, d’un polygone ou d un cercle). 
2. — Mesures. Longueur de la circonférence 
61. Les mesures. — L intérêt que présentent les caractères 
des grandeurs que notre § / a mis en lumière tient, comme on sait,, 
an fait suivant : on peut, grâce aux opérations que ces caractères 
rendent possibles, « mesurer » les grandeurs. 
Considérons, par exemple, un segment rectiligne AB. Nous- 
nous attachons à celle grandeur parce que c’est la plus simple de 
toutes (cf. n° 53). Mais tout ce que nous allons en dire pourra 
être étendu aux divers types de grandeurs géométriques tels que 
angles, aires volumes, etc. (cf. § 3). 
Pour mesurer le segment AB, on prend comme uni lé une lon 
gueur fixe, par exemple un métré et, à partir du point A, on porte 
celte unité, bout à bout, autant de fois que possible sur le segment 
AB. Il peut se faire qu’après avoir porté l'unité un nombre exact, 
m, de fois, on tombe exactement au point B; on dit alors que la 
longueur AB égale m fois l’unité et qu’elle a pour mesure, en 
mètres, le nombre m. 
Supposons, au contraire, que la longueur AB soit plus longue 
que m fois l’unité et moins longue (‘) que (m -h i) fois l’unité : 
nous dirons en ce cas que m est la mesure approchée par défaut 
en mètres) de AB, et que (m + i) en est la mesure approchée par 
excès. Pour avoir de AB une mesure exacte, ou plus exacte, nous 
devrons prendre une nouvelle unité, plus petite que le mètre, par 
( ! ) Etant donnée une longueur quelconque AB, il existe évidemment 
toujours un nombre m tel que m fois l’unité soit moindre que AB tandis 
que (m + i) fois l’unité surpasse AB. C’est là une vérité intuitive que 
nous ne saurions mettre en doute, mais dont nous ne pouvons cependant 
donner aucune démonstration. Cette vérité joue donc, dans les systèmes 
de géométrie, le rôle d’un axiome. Elle a été formulée en ces termes,, 
vers 1880, par le professeur autrichien Stolz, sous le nom d’axiome d’Ar 
chimède : « Si deux longueurs sont données, il y a toujours un multiple 
[produit par un nombre entier] de la plus petite qui surpasse la plus- 
grande ».