LES GRANDEURS 
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garantie. Nous avons déjà dit que les géomètres ne pouvaient en 
faire état et devaient avoir recours à une méthode théorique, seule 
susceptible d’être rigoureusement précisé. G est pouiquoi ds 
imaginèrent la méthode d exhaiistion (cf. n” 58y, que Ion 
appellerait aujourd’hui méthode du passage à la limite ('). En 
core, Euclide, le prudent, n’ose-t-il appliquer directement celte 
méthode ( 2 ) au problème de la rectification du cercle dont les 
termes mêmes ne lui paraissent pas logiquement recevables ; 
car, pour seulement parler de la longueur du cercle mesurée avec 
une unité rectiligne, il faudrait l’avoir définie, c’est-à-dire connaître 
un procédé de construction géométrique (vide infra, ch. m, $ 5 ) qui 
fournisse un segment « égal » à la circonférence du cercle : il 
faudrait donc avoir déjà résolu le problème de mesure que précisé 
ment l’on se pose. C’est le grand géomètre sicilien Archimède ( ;! ) 
qui résolut, le premier, ou plutôt trancha cette difficulté logique : 
il comprit qu’en déterminant une mesure arbitrairement approchée 
par excès ou par défaut de la longueur du cercle, on se trouve véri 
fier par surcroît que cette longueur existe Ifj [j’entends : vérifier que 
l’on pourrait, théoriquement, construire un segment rectiligne 
qui soit égal à la circonférence] (ce qu’au n° 57 nous avons admis 
comme intuitivement évident). 
65. — Considérons ( ’), — pour appliquer la méthode d'exhaus- 
lion — un carré ABCD (fig. 20) inscrit dans la circonférence 
(') Voir sur le mot « limite » p. 55, note 2. Le mot « exhaustion » est du 
xvn e siècle. On le trouve en particulier chez Grégoire de Saint-Vincent 
(vide infra, 67). 
( 2 ) En revanche Euclide applique, par exemple, la méthode d’exhaus- 
tion, à la démonstration du théorème suivant : les aires de deux cercles 
différents sont proportionnelles (vide n° 98) aux carrés de leurs diamètres : 
ici, en effet, 1 assimilation de la circonférence à un contour rectiligne et 
de l’aire du cercle à une aire polygonale n’est pas postulée. 
( 3 ) Dans le traité intitulé : /.ux.Xoo fistpr^iç. Cf. Heath, The works of 
Archimedes, Cambridge, 1897, p. 91. 
( ) Sur les conditions auxquelles doivent satisfaire les valeurs appro 
chées pour que cette conclusion soit valable, voir p. 80, note 2. 
( 5 ) C’est la méthode suivie par Antiphon (5 e siècle av. J.-C.) qui s’ins 
pire peut-être de la tradition pythagoricienne. Sur les moyens à employer 
Pour construire le carré inscrit ou circonscrit — et les polygones réguliers 
dont il sera question plus loin - voir le liv. II des Eléments d’EucLiDE 
et tous les traités de géométrie.