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LES GRANDEURS 
cercle (*) ; ce polygone peut être inscrit dans le cercle (c’est-à-dire 
intérieur au cercle, ses sommets étant tous sur le cercle, exemple : 
le polygone ABGD... sur la figure 22) ou circonscrit au cercle 
(extérieur, chacun de ces côtés touchant 
le cercle en un point, exemple ; le poly- 
gone A'B'C'D' 
sur la figure 22) ; la 
n° 47) ; 
inscrits 
mesure du contour du polygone est tou 
jours, dans le premier cas, une mesure 
approchée par défaut, dans le second cas 
une mesure approchée par excès de la 
longueur du cercle ; l’approximation est 
22 ‘ d’ailleurs arbitrairement grande (vide 
aussi dit-on que les périmètres des polygones réguliers 
et circonscrits ont pour limite la longueur du cercle 
lorsqu’on leur donne un nombre de côtés de plus en plus grand. 
66. Remarque.—Pour justifier rigoureusement ces conclusions, 
on prouve que la mesure du contour d’un polygone inscrit et 
celle du contour d’un polygone circonscrit sont arbitrairement 
rapprochées l’une de l'autre lorsque les polygones ont suffisam 
ment de côtés ; il en résulte que l'une et l'autre donnent bien ( 2 ) 
des valeurs arbitrairement approchées de la longueur du cercle. 
(') En donnant au polygone de plus en plus de côtés nous épuisons 
progressivement l’aire du cercle : d’où le mot « exhaustion ». 
(-’) puisque la longueur du cercle est comprise (voirp. 79, note 1) entre 
les longueurs de ces deux contours. —Que ce com- 
plément de démonstration, détaillé avec soin par 
Archimède, soit effectivement nécessaire, c’est ce 
dont on se convaincra si l’on fait attention au fait 
suivant. De ce qu’un contour polygonal, auquel 
on donne de plus en plus de côtés, tend vers une 
ligne géométrique connue (c’est-à-dire a une 
figure qui diffère de moins en moins de cette 
ligne) il ne résulte pas que la longueur du con 
tour ait pour limite la longueur de la ligne 
connue. Donnons-nous, par exemple (fig. a3) un triangle équilatéral 
ABC, et considérons successivement les contours polygonaux suivants : 
BDEFC, à 4 côtés (D, E, F étant le milieu des côtés du triangle) ; 
BGIIIEJKLC, à 8 côtés (G, FI, I étant les milieux des côtés du triangle 
BDE et J, K, L les milieux des côtés du triangle EFC) ; 
puis les contours à i6,3a,... côtés, qui se déduisent les uns des autres 
d’après le même procédé. 
Ces divers contours ont pour limite la ligne BC. Cependant on démontre