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Elemente der projectivischen Geometrie. 
64. Lehrsatz. Zwei projectivische, übereinander 
liegende Gebilde (der ersten Stufe) haben entweder 
höchstens zwei, oder alle ihre Elemente entsprechend 
g e m e i n. 
Beweis. Hätte es drei entsprechend gemeinschaftliche 
Elemente A, B, C und wären D und D' irgend zwei andere 
entsprechende Elemente, so hätte man (nach Nr. 58) die 
Gleichheit 
(ABCD) = (ABC D'), 
folglich (Nr. 54) würde D mit D' coincidiren. Wenn also die 
beiden Gebilde nicht identisch sind, so können sie nicht mehr 
als zwei vereinigte Elemente haben. 
65. Ist ein aus vier Elementen A B C D zusammenge 
setztes Gebilde (der ersten Stufe) zu einem zweiten Gebilde 
projectivisch, das aus dem ersten abgeleitet wird, indem man 
zwei Elemente vertauscht, z. B. zu B ACD, so behaupte ich. 
dass das Gebilde harmonisch ist und dass die beiden ver 
tauschten Elemente zugeordnete sind. Dieser Satz ist schon 
in Nr. 55 eingeschlossen*); wir können aber auch folgenden 
graphischen Beweis davon geben: 
Setzen wir z. B. voraus, A, B, C, D seien vier Punkte 
einer Geraden (Fig. 46); KMQD sei eine Projection dieser 
Punkte aus einem beliebigen Centrum L auf eine durch D 
Fig, 46. 
D 
C B 
A 
gehende Gerade. AB CD ist projectivisch zu KMQD und 
(nach Voraussetzung) auch zu B A C D, folglich sind auch die 
Gebilde K M Q D und B A C D projectivisch. Da aber D ein 
entsprechend gemeinschaftlicher Punkt dieser Gebilde ist, so 
il l 
0 Denn: ist a : b = A, so ist — : -r- = — 
1 a b X