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§ 23. Folgerungen und Constructionem 
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III. Zwei Punktenpaare einer Geraden sind gegeben: man 
soll auf dieser Geraden einen fünften Punkt der Art bestimmen, 
dass das Product seiner Abstände von den Punkten des ersten 
Paares zu dem Product seiner Abstände von den Punkten des 
zweiten Paares in einem gegebenen Yerhältniss steht *). 
IV. Man soll durch einen gegebenen Punkt eine Transver 
sale ziehen, welche auf zwei gegebenen Geraden, von zwei ge 
gebenen Punkten aus gemessen, zwei Abschnitte bilde, deren 
Yerhältniss oder Product gegeben ist* 1 ). 
268. Lehrsatz. Nimmt man auf jeder Diagonale eines voll 
ständigen Vierseits zwei Punkte, die sie harmonisch theilen, und 
liegen drei dieser sechs Punkte (auf jeder Diagonale einer) in 
gerader Linie, so sind auch die drei andern auf einer Geraden. 
Zusatz. Die drei Mittelpunkte der Diagonalen eines voll 
ständigen Vierseits liegen in einer Geraden. 
269. Lehrsatz. Ist ein Dreieck ABC einem Kreis einge 
schrieben und fällt man von einem Punkt 0 des Umfanges auf 
Fig. 214. 
die Seiten schiefe Geraden 0 A', 0 B', 0 C' unter gleichen Win 
keln (von gleichem Sinne), so liegen die Pusspunkte A', B', C' 
dieser Schiefen auf einer Geraden (Pig. 214). 
Wir ziehen durch 0 die Geraden OA", OB", OC" parallel 
zu BC, CA, AB; man wird leicht beweisen, dass die Winkel 
AOA", BOB", C00" dieselbe Halbirungslinie haben; also haben 
*) Aufgabe de sectione determinata von Apollonius. Siehe Chas- 
les, Géom. sup., Nr. 281 oder Diesterweg. 
*1) Aufgaben de sectione rationis und de sectione spatii 
von Apollonius. Siehe Chasles, Géom. sup., Nr. 296 und 298 oder 
Diesterweg.