§ 8. Harmonische Gebilde. 
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Beweis: Construirt man (in 
derselben oder in einer anderen 
Ebene durch s) ein zweites voll 
ständiges Viereck (K' L' M' N'), 
welches den vorgeschriebenen 
Bedingungen entspricht, so ha 
ben die beiden Vierecke fünf 
Paare entsprechender Seiten, die 
auf der gegebenen Geraden zu- 
sammenlaufen; also muss auch 
das sechste Paar auf derselben 
Geraden convergiren (Nr. 30, 5. 
links). 
Daraus folgt: wenn das erste 
Viereck fest liegt, das zweite 
auf alle möglichen Arten ver 
ändert wird, so bleibt der Punkt 
D fest; w. z. b. w. 
Die vier Punkte AB CD heis 
sen harmonische, oder man 
sagt: es ist das aus diesen vier 
Punkten zusammengesetzte geo 
metrische Gebilde ein harmo 
nisches. 
Man kann sich auch so aus- 
drücken: Vier Punkte ABCD 
einer Geraden (in der aus 
gesprochenen Reihenfolge 
genommen) heissen harmo 
nisch, wenn es möglich ist, 
ein vollständiges Viereck 
so zu construiren, dasszwei 
gegenüberliegende Seiten 
durch A, zwei andere gegen 
überliegende Seiten durch 
B, die fünfte durch C, die 
sechste durch D gehen. Es 
folgt aus dem vorhergehenden 
Lehrsatz, dass wenn ein solches 
Viereck existirt, d. h, wenn das 
Construirt man ein zweites 
vollständiges Vierseit [h' 1' m' n') 1 
welches den vorgeschriebenen 
Bedingungen entspricht, so haben 
die beiden Vierseite fünf Paare 
entsprechender Eckpunkte, die 
auf den gegebenen Punkt ge 
richtet sind; also muss auch 
das sechste Paar mit diesem 
Punkte in gerader Linie liegen 
(Nr. 30, 5. rechts). 
Daraus folgt: wenn das erste 
Vierseit fest liegt, das zweite 
auf alle möglichen Arten ver 
ändert wird, so bleibt die Ge 
rade d fest; w. z. b. w. 
Die vier Geraden (oder Strah 
len) ab cd heissen harmoni 
sche, oder man sagt: es ist das aus 
diesen vier Geraden zusammen 
gesetzte geometrische Gebilde 
ein harmonisches. 
Man kann sich auch so aus- 
drücken; Vier Strahlen abcd 
eines Büschels (in der aus 
gesprochenen Reihenfolge 
genommen) heissen harmo 
nisch, wenn es möglich ist, 
ein vollständiges Vierseit 
so zu construiren, dasszwei 
gegenüberliegende Eck 
punkte auf a, zwei andere 
gegenüberliegende Eck 
punkte auf h, der fünfte auf 
C, der sechste auf d fallen. 
Es folgt aus dem vorhergehen 
den Lehrsatz, dass wenn ein 
solches Vierseit existirt, d. h.