Geometrie. 
Harmonische Gebilde. 
43 
as Gebilde ab cd liarmo- 
t, man eine unendliche An 
derer Yierseite construi- 
n, welche denselben Be 
reu entsprechen. Des 
an folgt daraus: wenn 
■ahlen abc eines Büschels 
i sind (und es ist auch ihre 
folge gegeben), so ist der 
Strahl d, der mit ihnen 
■monisches Gebilde aus 
bestimmt und wird 
lie Construction eines der 
;e (Nr. 51) erhalten. 
inem Punkte S die 
if eine andere Ge- 
A'B'C'D' ebenfalls 
1). 
rch die beiden Geraden 
m wir voraus, es werde 
fiereck construirt, von 
n in A, zwei andere 
fünfte Seite durch C 
rch D gehen (Nr. 39), 
lBCD harmonisch ist, 
dem Punkte S auf die 
amen wir ein neues 
an in A'. zwei andere 
te durch C' und dessen 
st A' B' C' D' ebenfalls 
41. Die Betrachtung der Figur 25 zeigt, dass die har 
monischen Strahlen a, ö, c, d durch eine beliebige Transver 
sale (z. B. m) in vier harmonischen Punkten geschnitten wer 
den. Denn: man nehme willkürlich in a einen Punkt R, ver 
binde diesen mit D und B durch die Geraden k und Z, und A mit 
kh oder P durch die Gerade n. Da ab cd ein harmonisches 
Gebilde ist und fünf Eckpunkte des vollständigen Yierseits 
klmn in a, b und d liegen, so gehört der sechste Eckpunkt ln 
oder Q dem vierten Strahl c an. Dann ist auch wegen des 
vollständigen Vierecks PQRS (wo S der Mittelpunkt des Bü 
schels ab cd ist) A B C D ein harmonisches Gebilde. 
Setzen wir umgekehrt voraus, dass das harmonische Ge 
bilde A BCD (Fig. 25) gegeben sei und nehmen wir das Projec- 
tionscentrum S beliebig, so behaupte ich, dass die projiciren- 
den Strahlen S (A, B, C, D) harmonisch sind. 
Denn legen wir durch A eine beliebige Gerade, die SB 
in P und S C in Q schneide, ziehen dann B Q, welche A S 
in R schneide, so schneiden sich in dem Viereck PQRS zwei 
Gegenseiten in A, zwei andere in B und die fünfte Seite geht 
durch C, folglich muss die sechste Seite durch D gehen 
(Nr, 39, links), weil nach Voraussetzung das Gebilde AB CD 
harmonisch ist. Aber nun haben wir ein vollständiges Vierseit 
k l m n, das zwei Gegenecken A und R auf S A, zwei andere 
Gegenecken B und P auf SB, einen fünften Eckpunkt Q auf 
SC und den sechsten D auf SD hat; folglich (Nr. 39 rechts) 
sind die vier Geraden, die aus S die Reihe AB C D projiciren, 
harmonisch. Daraus ergibt sich: 
Vier harmonische Strahlen werden durch eine 
beliebige Transversale in vier harmonischen Punk 
ten geschnitten und umgekehrt: die Strahlen, welche 
vier harmonische Punkte aus einem beliebigen C en 
tmin projiciren, sind harmonisch. 
42. Der Satz Nr. 39, rechts ist reciprok (in der ebenen 
Geometrie) zu dem links daneben stehenden, in welchem man 
voraussetzt, dass alle Vierecke in derselben Ebene liegen. 
Nach dem Vorangehenden ist der Satz Nr. 39, links auch noch