66 
Elemente der projectivischen Geometrie. 
beliebigen anderen Elemente D des ersten Gebildes zu dem 
entsprechenden Elemente D' des zweiten führen. Denn könnte 
D mit diesen Operationen ein anderes Element D" geben, so 
wären die beiden Doppelverhältnisse (ABCD) und (A'B'C'D") 
gleich; nach Voraussetzung hat man 
(AB CD) = (A'B'C'D'); 
folglich wäre 
(A'B'C'D') = (A'B'C'D''); 
das ist unmöglich, wenn nicht D" mit D' zusammenfällt 
(Nr. 54). 
In Pig. 41 sind die Operationen: eine Projection aus S, ein 
Schnitt durch u", eine Projection aus S' und ein Schnitt durch u'. 
61. Es ist ebenso leicht, die Umkehrung zu dem Satze 
Nr, 54 zu beweisen; d. h. 
Sind zwei Gebilde der ersten Stufe gegeben und 
entsprechen den Elementen A, B, C, D... des einen 
in derselben Reihenfolge die Elemente A', B', C', D... 
des andern in der Weise, dass vier beliebige Ele 
mente des ersten Gebildes und die vier entsprechen 
den Elemente des andern gleiche Doppelverhältnisse 
haben, so sind die beiden Gebilde projectivisch. 
Denn jedes System von Operationen, das von der Terne 
ABC zur Terne A' B' C' führt, leitet auch von dem Element 
D zu einem Element D", so dass 
(AB CD) = (A'B'C'D"); 
nach Voraussetzung aber ist 
(AB CD) = (A'B'C'D'), 
also auch 
(A'B'C'D') = (A'B'C'D"); 
folglich fällt D" mit D' zusammen (Nr. 54). Da derselbe 
Schluss für jedes andere Paar entsprechender Elemente wahr 
bleibt, so ist bewiesen, dass die beiden Gebilde projectivisch 
sind (Nr. 34). 
62. Aus Nr. 60 folgt als specieller Fall: 
Wenn zwei proj ectivisch e Gebilde der ersten 
Stufe zwei entsprechende Ternen ABC und A'B'C'