9° 
DIFFERENTIATION DE FONCTIONS QUELCONQUES, 
38. — Différentiation de fonctions explicites quelconques. 
Les fonctions explicites de forme finie exprimables par les signes 
de l’Algèbre ou de la Trigonométrie, n’étant que des combinaisons 
des fonctions simples étudiées dans les seconde et troisième Leçons, 
se réduisent à des fonctions de fonction, ou à des fonctions composées, 
de celles-là. Donc les règles précédentes permettront de les différen 
tiel' toutes. Plusieurs même de ces règles n’auraient pas eu besoin 
d’être directement démontrées; car elles constituent de simples appli 
cations des autres. 
Telle est, par exemple, celle qui concerne un produit uvw de fac 
teurs variables. En n’y faisant varier successivement que u, ou v, ou w, 
on a les trois dérivées partielles vw, wu, uv, et la formule (6) donne 
bien, pour la dérivée totale du produit, vwu' -+- wuv' -f- uvw', confor 
mément à la relation (i) de la page 87. De même, les deux dérivées par- 
tielles d un quotient -, ou uv~ l , par rapport a « et a v, sont - , ~~pr’ 
1 •. 7 ■ < 1 1 f • - u! uv’ vu! — uv' . 
ce qui conduit bien a la denvee en x, — = » obtenue 
v v* v* 
également à la page 87 [formule (2)]. 
De même encore, la règle pour différentiel' une fonction y — f{x), 
inverse d’une autre donnée x — <f(/), résulte immédiatement de celle 
de différentiation des fonctions de fonction; car cp{y), expression de x, 
n’est autre que la fonction de fonction ^[/(¿c)] et, par conséquent, sa 
dérivée ^ ou 1 vaudra le produit des dérivées <f' {y),f'{&) des deux 
fonctions qui y figurent. Ainsi, ces deux dérivées, de la fonction di 
recte <f(jy) et de la fonction inverse f{x), égalent bien l’inverse l’une 
de l’autre, conformément à la règle de la page 43, que l’on a plusieurs 
fois appliquée (pp. 5i et 60). 
Prenons, comme exemple de fonction composée dont la dérivée n’ait 
pas été obtenue dans les Leçons précédentes, Vexponentielle à hase 
variable y — u v . Sa dérivée par rapport à u est celle d’une puissance 
de la forme u m et vaut, par conséquent, vu v ~ x , tandis que sa dérivée 
par rapport à v est celle d’une exponentielle de la forme a v et vaut 
ifflogM. On aura donc y'= vu v ~ x u'(«"log«) v'. Si l’on a, par 
exemple, u — x et v — x, ou y ~ x x , il vient simplement 
y' = æ x (i -4- loga?), 
vu que u' et v' se réduisent à l’unité.