EXPLICITES OU IMPLICITES.
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39. — Différentiation des fonctions implicites.
Même les dérivées des fonctions implicites définies au moyen d’équa
tions non résolues s’obtiendront, et sous une forme remarquable, à
l’aide des règles précédentes, pourvu que les membres de ces équa
tions soient des fonctions explicites connues des variables qui y pa
raîtront.
Commençons par le cas d’une seule équation, ramenée à la forme
F(¿u, y) — o, ou même plus généralement à la forme F {x, y) = une
constante c, entre une variable indépendante x et une fonction y de
celle-ci. Le premier membre F (x,y), supposé qu’on y regarde d’abord
y comme une fonction quelconque de x, est évidemment une certaine
fonction composée, ayant pour dérivée complète F',, {x,y) -\-F' y {x,y)y'.
Mais si, de proche en proche, on détermine y par la condition donnée
que, x variant, F {x, y) ne cesse pas d’égaler la constante c, cette dé
rivée complète s’annulera continuellement, et l’on aura
— o.
Autrement dit, le rapport des changements élémentaires dx et dy,
qu’éprouveront à chaque instant les variables x et y, se réglera, en
vertu de l’équation F (x, y) =. c, de manière qu’il y ait compensation
entre les deux accroissements infiniment petits partiels correspon
dants, F' x dx et F!,, dy ou F' y y'dx, de la fonction F {x, y). Il vient
donc, en y', l’équation du premier degré, dite équation de Sluze,
00
dF
dx
d’où
dF
dx _ _ F[ T (x,y)'
dF F' y {x,y)’
dy
et la dérivée de la fonction implicite y se trouve ainsi exprimée au
moyen des valeurs actuelles x, y des variables; ce qui dispense d’une
discussion plus ou moins laborieuse pour chercher ce que deviendraient
x et y dans le voisinage.
L’équation proposée F (x, y) = c n’étant pas du premier degré en y
(sans quoi sa résolution, immédiate, changerait/ en une fonction ex
plicite de x), l’une au moins des deux dérivées partielles de F, savoir
¥' y [x, y ), contiendra j dans son expression. Donc la dérivée trouvée/',
quotient de — F^ par F^., différera de celle qu’on aurait eue si la fonc
tion y avait été explicite, en ce que sa valeurne sera pas exprimée en fonc
tion de x seulement, mais aussi et surtout en fonction de y : circonstance
qui oblige finalement, si l’on veut calculer /', à résoudre l’équation